問題は2つあります。 * 問1: 地球と月の質量が与えられたとき、(1)換算質量を計算し、(2)地球と月の重心が地球の中心から何km離れているかを求め、(3)その距離が地球の半径の何倍かを求めます。 * 問2: 質量 $m$ の人工衛星が地球の周りを半径 $2R$ で円軌道を描いて周回している状況を考えます。地球の質量を $M$、重力定数を $G$ とし、$m \ll M$ とします。(1)遠心力と万有引力のつり合いから人工衛星の速さ $v$ を求め、(2)(1)のときの人工衛星の角運動量を求めます。(3)次に、人工衛星の速度が瞬時に $n (> 1)$ 倍になったときの角運動量を求め、(4)その後の楕円軌道における遠地点の地球中心からの距離 $x$ を求めます。(5)最後に、人工衛星が地球の重力圏から脱出するために必要な $n$ の条件を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

* 問1: 地球と月の質量が与えられたとき、(1)換算質量を計算し、(2)地球と月の重心が地球の中心から何km離れているかを求め、(3)その距離が地球の半径の何倍かを求めます。

* 問2: 質量 $m$ の人工衛星が地球の周りを半径 $2R$ で円軌道を描いて周回している状況を考えます。地球の質量を $M$、重力定数を $G$ とし、$m \ll M$ とします。(1)遠心力と万有引力のつり合いから人工衛星の速さ $v$ を求め、(2)(1)のときの人工衛星の角運動量を求めます。(3)次に、人工衛星の速度が瞬時に $n (> 1)$ 倍になったときの角運動量を求め、(4)その後の楕円軌道における遠地点の地球中心からの距離 $x$ を求めます。(5)最後に、人工衛星が地球の重力圏から脱出するために必要な $n$ の条件を求めます。

2. 解き方の手順

**問1**

(1) 換算質量 $\mu$ は、

$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$

で計算できます。$m_1 = 6.0 \times 10^{24} \text{kg}$、 $m_2 = 7.4 \times 10^{22} \text{kg}$ を代入します。

(2) 地球の中心から重心までの距離 $r_{cm}$ は、

$r_{cm} = \frac{m_2 r}{m_1 + m_2}$

で計算できます。$r = 3.8 \times 10^5 \text{km}$ を代入します。

(3) 求めた $r_{cm}$ を地球の半径 $6.4 \times 10^3 \text{km}$ で割ります。

**問2**

(1) 遠心力と万有引力のつり合いより、

$\frac{mv^2}{2R} = \frac{GMm}{(2R)^2}$

したがって、

$v = \sqrt{\frac{GM}{4R}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{GM}{R}}$

(2) 角運動量 $L$ は、

$L = mvr = m (\frac{1}{2}\sqrt{\frac{GM}{R}}) (2R) = m\sqrt{GMR}$

(3) 速度が $n$ 倍になったときの角運動量 $L'$ は、

$L' = m(nv)r = nmvr = n m \sqrt{GMR}$

(4) 楕円軌道において、角運動量保存則より、

$L' = 2Rmv_1 = xmv_2$ (ここで、$v_1$は近地点での速度、$v_2$は遠地点での速度です。)

また、エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GMm}{2R} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GMm}{x}$

角運動量保存則より、$v_1 = \frac{L'}{2Rm} = \frac{n\sqrt{GMR}}{2R}$ , $v_2 = \frac{L'}{xm} = \frac{n\sqrt{GMR}}{x}$. これらをエネルギー保存則に代入して、

$\frac{1}{2}m (\frac{n\sqrt{GMR}}{2R})^2 - \frac{GMm}{2R} = \frac{1}{2}m (\frac{n\sqrt{GMR}}{x})^2 - \frac{GMm}{x}$

$\frac{n^2GMm}{8R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{n^2GMm}{2x^2} - \frac{GMm}{x}$

$\frac{n^2}{8R} - \frac{1}{2R} = \frac{n^2}{2x^2} - \frac{1}{x}$

これを整理すると、$4R = (4-n^2)x + \frac{4Rn^2}{x}$を満たす。あるいは、$n \sqrt{GMR} = 2Rmv_1 = xmv_2$と、$\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GMm}{2R} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GMm}{x}$を変形した$v_1^2 - \frac{2GM}{2R} = v_2^2 - \frac{2GM}{x}$を用いて連立方程式を解くことができる。

別の解法として、面積速度一定の法則とエネルギー保存則を利用する。$r_1v_1 = r_2v_2$, $\frac{1}{2}v_1^2-\frac{GM}{r_1} = \frac{1}{2}v_2^2-\frac{GM}{r_2}$.　$r_1=2R$,　$r_2=x$,　$\frac{1}{2}n^2\frac{GM}{4R}-\frac{GM}{2R} = E$, $\frac{GM}{8R}(n^2-4) = E$,$\frac{GM}{8R}(n^2-4) = \frac{1}{2}(\frac{2R}{x}n\sqrt{\frac{GM}{4R}})^2 - \frac{GM}{x} = \frac{GM}{2x^2}4R^2\frac{n^2}{4R} - \frac{GM}{x} = \frac{GM}{2x^2}Rn^2 - \frac{GM}{x}$.

これを整理すると、$4x = (4-n^2)2R +\frac{2Rn^2}{x}$, $4Rx + (n^2 - 4)x^2 = 2Rn^2$, $(n^2-4)x^2 + 4Rx - 2Rn^2 = 0$. この2次方程式を解くと、 $x = \frac{-4R \pm \sqrt{16R^2+8Rn^2(n^2-4)}}{2(n^2-4)} = \frac{-2R \pm \sqrt{4R^2+2Rn^2(n^2-4)}}{(n^2-4)}$.物理的に、$n > 1$なので、$n^2 > 1$、また、$x>0$なので、 $x = \frac{-2R - \sqrt{4R^2+2Rn^2(n^2-4)}}{(n^2-4)}$となる。

(5) 人工衛星が地球の重力圏から脱出するには、エネルギーが0以上になる必要があります。

$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} \ge 0$

ここで、$v = n \frac{1}{2}\sqrt{\frac{GM}{R}}$、$r = 2R$ なので、

$\frac{1}{2}m(n \frac{1}{2}\sqrt{\frac{GM}{R}})^2 - \frac{GMm}{2R} \ge 0$

$\frac{n^2GMm}{8R} - \frac{GMm}{2R} \ge 0$

$\frac{n^2}{8} - \frac{1}{2} \ge 0$

$n^2 \ge 4$

$n \ge 2$

3. 最終的な答え

**問1**

(1) 換算質量: $\mu = 7.31 \times 10^{22} \text{kg}$

(2) 地球の中心から重心までの距離: $r_{cm} = 4667 \text{km}$

(3) 地球の半径の何倍か: $0.729$ 倍

**問2**

(1) 人工衛星の速さ: $v = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{GM}{R}}$

(2) 角運動量: $L = m\sqrt{GMR}$

(3) 速度が $n$ 倍になったときの角運動量: $L' = n m\sqrt{GMR}$

(4) 遠地点の距離: $x = \frac{-2R - \sqrt{4R^2+2Rn^2(n^2-4)}}{(n^2-4)}$

(5) $n \ge 2$