与えられた二次関数 $y = 2x^2 + 4x + 1$ において、$-2 \le x \le 1$ の範囲での $y$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = 2x^2 + 4x + 1$ において、$-2 \le x \le 1$ の範囲での $y$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、二次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 4x + 1 = 2(x^2 + 2x) + 1$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = 2((x+1)^2 - 1) + 1$

$y = 2(x+1)^2 - 2 + 1 = 2(x+1)^2 - 1$

したがって、平方完成した式は $y = 2(x+1)^2 - 1$ となります。

この式から、頂点の座標は $(-1, -1)$ であり、下に凸なグラフであることがわかります。

次に、定義域 $-2 \le x \le 1$ における $y$ の最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標 $x=-1$ は定義域に含まれています。したがって、最小値は頂点の $y$ 座標である $y=-1$ です。

最大値は、定義域の端点 $x=-2$ または $x=1$ のいずれかでとります。

$x = -2$ のとき、$y = 2(-2+1)^2 - 1 = 2(-1)^2 - 1 = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$

$x = 1$ のとき、$y = 2(1+1)^2 - 1 = 2(2)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7$

したがって、最大値は $y=7$ です。

3. 最終的な答え

最小値: $-1$

最大値: $7$