与えられた2次関数を平方完成させる問題です。具体的には、以下の10個の2次関数をそれぞれ平方完成させます。 (1) $y = x^2 - x + 5$ (2) $y = x^2 + 2x - 1$ (3) $y = x^2 - 3x + 4$ (4) $y = x^2 + 2x + 4$ (5) $y = x^2 + 4x + 4$ (6) $y = x^2 - 3x$ (7) $y = x^2 - 5x - 5$ (8) $y = x^2 + 3x$ (9) $y = x^2 + 5x + 3$ (10) $y = x^2 + x$

1. 問題の内容

与えられた2次関数を平方完成させる問題です。具体的には、以下の10個の2次関数をそれぞれ平方完成させます。

(1) $y = x^2 - x + 5$

(2) $y = x^2 + 2x - 1$

(3) $y = x^2 - 3x + 4$

(4) $y = x^2 + 2x + 4$

(5) $y = x^2 + 4x + 4$

(6) $y = x^2 - 3x$

(7) $y = x^2 - 5x - 5$

(8) $y = x^2 + 3x$

(9) $y = x^2 + 5x + 3$

(10) $y = x^2 + x$

2. 解き方の手順

平方完成の一般的な手順は以下の通りです。

$y = x^2 + bx + c$ という形の2次関数を平方完成させるには、

1. $x^2 + bx$ の部分に注目し、$x$ の係数 $b$ の半分の2乗を足して引きます。

$x^2 + bx = (x + \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2$

2. 上記の結果を元の式に代入します。

$y = (x + \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + c$

3. 定数項を整理します。

$y = (x + \frac{b}{2})^2 + (c - (\frac{b}{2})^2)$

それぞれの問題について、上記の手順を適用します。

(1) $y = x^2 - x + 5$

$y = (x - \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + 5 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 5 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{19}{4}$

(2) $y = x^2 + 2x - 1$

$y = (x + 1)^2 - 1^2 - 1 = (x + 1)^2 - 1 - 1 = (x + 1)^2 - 2$

(3) $y = x^2 - 3x + 4$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

(4) $y = x^2 + 2x + 4$

$y = (x + 1)^2 - 1^2 + 4 = (x + 1)^2 - 1 + 4 = (x + 1)^2 + 3$

(5) $y = x^2 + 4x + 4$

$y = (x + 2)^2 - 2^2 + 4 = (x + 2)^2 - 4 + 4 = (x + 2)^2$

(6) $y = x^2 - 3x$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

(7) $y = x^2 - 5x - 5$

$y = (x - \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 - 5 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} - 5 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{45}{4}$

(8) $y = x^2 + 3x$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

(9) $y = x^2 + 5x + 3$

$y = (x + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 + 3 = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 3 = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4}$

(10) $y = x^2 + x$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{19}{4}$

(2) $y = (x + 1)^2 - 2$

(3) $y = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

(4) $y = (x + 1)^2 + 3$

(5) $y = (x + 2)^2$

(6) $y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

(7) $y = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{45}{4}$

(8) $y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

(9) $y = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4}$

(10) $y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$