与えられた2次関数を平方完成させる問題です。問題用紙には10個の2次関数が記載されています。

## 平方完成の問題

1. 問題の内容

与えられた2次関数を平方完成させる問題です。問題用紙には10個の2次関数が記載されています。

2. 解き方の手順

平方完成は、以下の手順で行います。

1. $x^2$ の係数で $x^2$ と $x$ の項をくくります。

2. 括弧の中を $(x + a)^2 + b$ の形に変形します。$a$ は $x$ の係数の半分です。

3. 括弧を展開し、定数項を調整します。

では、各問題に対して平方完成を行ってみましょう。

(1) $y = -4x^2 - 4x + 7$

$y = -4(x^2 + x) + 7$

$y = -4(x^2 + x + (1/2)^2 - (1/2)^2) + 7$

$y = -4((x + 1/2)^2 - 1/4) + 7$

$y = -4(x + 1/2)^2 + 1 + 7$

$y = -4(x + 1/2)^2 + 8$

(2) $y = -4x^2 - 3x + 6$

$y = -4(x^2 + (3/4)x) + 6$

$y = -4(x^2 + (3/4)x + (3/8)^2 - (3/8)^2) + 6$

$y = -4((x + 3/8)^2 - 9/64) + 6$

$y = -4(x + 3/8)^2 + 9/16 + 6$

$y = -4(x + 3/8)^2 + 9/16 + 96/16$

$y = -4(x + 3/8)^2 + 105/16$

(3) $y = 2x^2 + 7x + 2$

$y = 2(x^2 + (7/2)x) + 2$

$y = 2(x^2 + (7/2)x + (7/4)^2 - (7/4)^2) + 2$

$y = 2((x + 7/4)^2 - 49/16) + 2$

$y = 2(x + 7/4)^2 - 49/8 + 2$

$y = 2(x + 7/4)^2 - 49/8 + 16/8$

$y = 2(x + 7/4)^2 - 33/8$

(4) $y = -4x^2 + x - 6$

$y = -4(x^2 - (1/4)x) - 6$

$y = -4(x^2 - (1/4)x + (1/8)^2 - (1/8)^2) - 6$

$y = -4((x - 1/8)^2 - 1/64) - 6$

$y = -4(x - 1/8)^2 + 1/16 - 6$

$y = -4(x - 1/8)^2 + 1/16 - 96/16$

$y = -4(x - 1/8)^2 - 95/16$

(5) $y = -2x^2 - x - 5$

$y = -2(x^2 + (1/2)x) - 5$

$y = -2(x^2 + (1/2)x + (1/4)^2 - (1/4)^2) - 5$

$y = -2((x + 1/4)^2 - 1/16) - 5$

$y = -2(x + 1/4)^2 + 1/8 - 5$

$y = -2(x + 1/4)^2 + 1/8 - 40/8$

$y = -2(x + 1/4)^2 - 39/8$

(6) $y = 2x^2 + 9x + 6$

$y = 2(x^2 + (9/2)x) + 6$

$y = 2(x^2 + (9/2)x + (9/4)^2 - (9/4)^2) + 6$

$y = 2((x + 9/4)^2 - 81/16) + 6$

$y = 2(x + 9/4)^2 - 81/8 + 6$

$y = 2(x + 9/4)^2 - 81/8 + 48/8$

$y = 2(x + 9/4)^2 - 33/8$

(7) $y = -4x^2 - 8x - 3$

$y = -4(x^2 + 2x) - 3$

$y = -4(x^2 + 2x + 1 - 1) - 3$

$y = -4((x + 1)^2 - 1) - 3$

$y = -4(x + 1)^2 + 4 - 3$

$y = -4(x + 1)^2 + 1$

(8) $y = 3x^2 + 8x + 4$

$y = 3(x^2 + (8/3)x) + 4$

$y = 3(x^2 + (8/3)x + (4/3)^2 - (4/3)^2) + 4$

$y = 3((x + 4/3)^2 - 16/9) + 4$

$y = 3(x + 4/3)^2 - 16/3 + 4$

$y = 3(x + 4/3)^2 - 16/3 + 12/3$

$y = 3(x + 4/3)^2 - 4/3$

(9) $y = -2x^2 + 3x + 5$

$y = -2(x^2 - (3/2)x) + 5$

$y = -2(x^2 - (3/2)x + (3/4)^2 - (3/4)^2) + 5$

$y = -2((x - 3/4)^2 - 9/16) + 5$

$y = -2(x - 3/4)^2 + 9/8 + 5$

$y = -2(x - 3/4)^2 + 9/8 + 40/8$

$y = -2(x - 3/4)^2 + 49/8$

(10) $y = 3x^2 - 10x - 5$

$y = 3(x^2 - (10/3)x) - 5$

$y = 3(x^2 - (10/3)x + (5/3)^2 - (5/3)^2) - 5$

$y = 3((x - 5/3)^2 - 25/9) - 5$

$y = 3(x - 5/3)^2 - 25/3 - 5$

$y = 3(x - 5/3)^2 - 25/3 - 15/3$

$y = 3(x - 5/3)^2 - 40/3$

3. 最終的な答え

(1) $y = -4(x + 1/2)^2 + 8$

(2) $y = -4(x + 3/8)^2 + 105/16$

(3) $y = 2(x + 7/4)^2 - 33/8$

(4) $y = -4(x - 1/8)^2 - 95/16$

(5) $y = -2(x + 1/4)^2 - 39/8$

(6) $y = 2(x + 9/4)^2 - 33/8$

(7) $y = -4(x + 1)^2 + 1$

(8) $y = 3(x + 4/3)^2 - 4/3$

(9) $y = -2(x - 3/4)^2 + 49/8$

(10) $y = 3(x - 5/3)^2 - 40/3$