問題は、分母が1つ違いの整数の積で表される単位分数の和を、部分分数分解を利用して計算するものです。具体的には、以下の2つの計算を行います。 (1) $\frac{1}{7 \times 8} + \frac{1}{8 \times 9} + \frac{1}{9 \times 10} + \frac{1}{10 \times 11}$ (2) $\frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72}$

1. 問題の内容

問題は、分母が1つ違いの整数の積で表される単位分数の和を、部分分数分解を利用して計算するものです。具体的には、以下の2つの計算を行います。

(1) $\frac{1}{7 \times 8} + \frac{1}{8 \times 9} + \frac{1}{9 \times 10} + \frac{1}{10 \times 11}$

(2) $\frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72}$

2. 解き方の手順

(1) の場合:

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ という関係を利用します。

$\frac{1}{7 \times 8} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8}$

$\frac{1}{8 \times 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$

$\frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$

$\frac{1}{10 \times 11} = \frac{1}{10} - \frac{1}{11}$

したがって、

$\frac{1}{7 \times 8} + \frac{1}{8 \times 9} + \frac{1}{9 \times 10} + \frac{1}{10 \times 11} = (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) + (\frac{1}{10} - \frac{1}{11})$

$= \frac{1}{7} - \frac{1}{11}$

$= \frac{11 - 7}{7 \times 11} = \frac{4}{77}$

(2) の場合:

各分数の分母を2つの連続する整数の積で表します。

$\frac{1}{12} = \frac{1}{3 \times 4}$

$\frac{1}{20} = \frac{1}{4 \times 5}$

$\frac{1}{30} = \frac{1}{5 \times 6}$

$\frac{1}{42} = \frac{1}{6 \times 7}$

$\frac{1}{56} = \frac{1}{7 \times 8}$

$\frac{1}{72} = \frac{1}{8 \times 9}$

したがって、

$\frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9})$

$= \frac{1}{3} - \frac{1}{9}$

$= \frac{3 - 1}{9} = \frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{77}$

(2) $\frac{2}{9}$