3次方程式 $(x-1)(x^2 + ax + 4) = 0$ が重解を持つとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $(x-1)(x^2 + ax + 4) = 0$ が重解を持つとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

方程式 $(x-1)(x^2 + ax + 4) = 0$ は $x=1$ を解として持つ。

$x^2 + ax + 4 = 0$ が重解を持つ場合と、$x^2 + ax + 4 = 0$ が $x=1$ を解として持つ場合の2つを考える。

(i) $x^2 + ax + 4 = 0$ が重解を持つ場合：

判別式 $D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0$ より、

$a^2 - 16 = 0$

$a^2 = 16$

$a = \pm 4$

$a = 4$ のとき、$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 = 0$ より、$x = -2$ (重解)。

このとき、3次方程式の解は $x = 1, -2, -2$ となり、重解を持つ。

$a = -4$ のとき、$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = 0$ より、$x = 2$ (重解)。

このとき、3次方程式の解は $x = 1, 2, 2$ となり、重解を持つ。

(ii) $x^2 + ax + 4 = 0$ が $x=1$ を解として持つ場合：

$1^2 + a \cdot 1 + 4 = 0$

$1 + a + 4 = 0$

$a = -5$

このとき、$x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) = 0$ より、$x = 1, 4$。

3次方程式の解は $x = 1, 1, 4$ となり、重解を持つ。

3. 最終的な答え

$a = -5, -4, 4$