関数 $y = \sqrt{2x-6}$ ($a \le x \le b$) の値域が $2 \le y \le 4$ となるような定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{2x-6}$ ($a \le x \le b$) の値域が $2 \le y \le 4$ となるような定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = \sqrt{2x - 6}$ の定義域を考えます。根号の中身は非負でなければならないので、

$2x - 6 \ge 0$

$2x \ge 6$

$x \ge 3$

となります。したがって、$x \ge 3$ です。

次に、$y$ の値域 $2 \le y \le 4$ を用いて、$x$ の範囲を求めます。

$y = \sqrt{2x-6}$ の両辺を2乗すると、

$y^2 = 2x - 6$

$2x = y^2 + 6$

$x = \frac{y^2 + 6}{2}$

となります。

$y = 2$ のとき、$x = \frac{2^2 + 6}{2} = \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y = 4$ のとき、$x = \frac{4^2 + 6}{2} = \frac{16+6}{2} = \frac{22}{2} = 11$

したがって、$5 \le x \le 11$ となります。

与えられた条件 $a \le x \le b$ と比較すると、$a = 5$、$b = 11$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

$a = 5$, $b = 11$