与えられた連立一次方程式が非自明な解を持つための条件を求め、非自明な解を持つ場合に、基本解が何個の元からなるかを求める問題です。方程式は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & k+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式が非自明な解を持つための条件を求め、非自明な解を持つ場合に、基本解が何個の元からなるかを求める問題です。方程式は以下の通りです。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 2 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & k+1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z \\ w

\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}

0 \\ 0 \\ 0 \\ 0

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列のランクを考えます。非自明な解を持つためには、行列のランクが変数の数よりも小さくなければなりません。この場合、変数の数は4つ（$x, y, z, w$）です。行列のランクが4未満になる条件を探します。

与えられた行列を見ると、4行目の要素が $0, 0, 0, k+1$ となっています。このことから、$k+1 = 0$、つまり $k = -1$ のとき、行列のランクは3になります。$k \neq -1$ のときは行列のランクは4となり、自明な解 ($x=y=z=w=0$) しか持ちません。

したがって、非自明な解を持つための条件は $k = -1$ です。

次に、$k = -1$ の場合の基本解の数を求めます。行列のランクは3なので、自由度は $4 - 3 = 1$ となります。つまり、基本解は1つ存在します。

3. 最終的な答え

非自明な解を持つ条件は $k = -1$ です。

解を持つ場合、基本解は1個の元からなります。