(1) $\log_{10}2 = a$, $\log_{10}3 = b$ とするとき、$\log_{10}360$ を $a, b$ を用いて表し、$\log_4 13.5$ を $a, b$ を用いて表す。 (2) 不等式 $\log_3(x+2) + \log_3(x-4) \leq 3$ を解く。 (3) 不等式 $2\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} (x+2)$ を解く。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $\log_{10}2 = a$, $\log_{10}3 = b$ とするとき、$\log_{10}360$ を $a, b$ を用いて表し、$\log_4 13.5$ を $a, b$ を用いて表す。

(2) 不等式 $\log_3(x+2) + \log_3(x-4) \leq 3$ を解く。

(3) 不等式 $2\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} (x+2)$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

$\log_{10}360 = \log_{10}(36 \times 10) = \log_{10}(2^3 \times 3^2 \times 10) = \log_{10}2^3 + \log_{10}3^2 + \log_{10}10$

$= 3\log_{10}2 + 2\log_{10}3 + 1 = 3a + 2b + 1$

よって、ア=3, イ=2, ウ=1

$\log_4 13.5 = \log_4 \frac{27}{2} = \frac{\log_{10} \frac{27}{2}}{\log_{10} 4} = \frac{\log_{10}27 - \log_{10}2}{\log_{10}4} = \frac{\log_{10}3^3 - \log_{10}2}{\log_{10}2^2}$

$= \frac{3\log_{10}3 - \log_{10}2}{2\log_{10}2} = \frac{3b-a}{2a}$

よって、エ=3, オ=2

(2)

$\log_3(x+2) + \log_3(x-4) \leq 3$

真数条件より、$x+2 > 0$ かつ $x-4 > 0$。よって、$x > 4$。

$\log_3((x+2)(x-4)) \leq \log_3 3^3$

$(x+2)(x-4) \leq 27$

$x^2 - 2x - 8 \leq 27$

$x^2 - 2x - 35 \leq 0$

$(x-7)(x+5) \leq 0$

$-5 \leq x \leq 7$

真数条件 $x > 4$ と合わせて、$4 < x \leq 7$

よって、カ=4, キ=7

(3)

$2\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} (x+2)$

真数条件より、$x > 0$ かつ $x+2 > 0$。よって、$x > 0$。

$\log_{\frac{1}{3}} x^2 > \log_{\frac{1}{3}} (x+2)$

底が $\frac{1}{3}$ なので、

$x^2 < x+2$

$x^2 - x - 2 < 0$

$(x-2)(x+1) < 0$

$-1 < x < 2$

真数条件 $x > 0$ と合わせて、$0 < x < 2$

よって、ク=0, ケ=2

3. 最終的な答え

(1) ア=3, イ=2, ウ=1, エ=3, オ=2

(2) カ=4, キ=7

(3) ク=0, ケ=2