行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列を求めます。 (1) $(AB)^{-1}$ (2) $B^{-1} A^{-1}$ (3) $A^{-1} B^{-1}$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列を求めます。

(1) $(AB)^{-1}$

(2) $B^{-1} A^{-1}$

(3) $A^{-1} B^{-1}$

2. 解き方の手順

(1) $(AB)^{-1}$ を求めるには、まず $AB$ を計算し、その逆行列を求めます。

$AB = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot5 + 2\cdot2 & 0\cdot(-3) + 2\cdot(-1) \\ 3\cdot5 + (-1)\cdot2 & 3\cdot(-3) + (-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 13 & -8 \end{pmatrix}$

$(AB)^{-1}$ を求めるためには、まず $AB$ の行列式を計算します。

$\det(AB) = 4\cdot(-8) - (-2)\cdot13 = -32 + 26 = -6$

$(AB)^{-1} = \frac{1}{\det(AB)} \begin{pmatrix} -8 & 2 \\ -13 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} -8 & 2 \\ -13 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{13}{6} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

(2) $B^{-1} A^{-1}$ を求めます。一般に、$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ が成り立ちます。したがって、(1)の結果と同じになります。

$B^{-1} A^{-1} = (AB)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{13}{6} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

(3) $A^{-1} B^{-1}$ を求めます。まず、$A^{-1}$ と $B^{-1}$ をそれぞれ計算します。

$\det(A) = 0\cdot(-1) - 2\cdot3 = -6$

$A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$

$\det(B) = 5\cdot(-1) - (-3)\cdot2 = -5 + 6 = 1$

$B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$

$A^{-1} B^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{6}\cdot(-1) + \frac{1}{3}\cdot(-2) & \frac{1}{6}\cdot3 + \frac{1}{3}\cdot5 \\ \frac{1}{2}\cdot(-1) + 0\cdot(-2) & \frac{1}{2}\cdot3 + 0\cdot5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{6} - \frac{2}{3} & \frac{1}{2} + \frac{5}{3} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{5}{6} & \frac{13}{6} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $(AB)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{13}{6} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

(2) $B^{-1} A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{13}{6} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

(3) $A^{-1} B^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{5}{6} & \frac{13}{6} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$