与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & -i & -2 \\ 0 & 2 & i \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答える問題です。 (a) Aが正規行列であることを確認する。 (b) Aの固有値と固有ベクトルをすべて求める。 (c) ユニタリ行列 $U$ を求め、$U$ で $A$ を対角化する。 (2) $A^n$ ($n \in \mathbb{N}$) を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & -i & -2 \\ 0 & 2 & i \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答える問題です。

(a) Aが正規行列であることを確認する。

(b) Aの固有値と固有ベクトルをすべて求める。

(c) ユニタリ行列 $U$ を求め、$U$ で $A$ を対角化する。

(2) $A^n$ ($n \in \mathbb{N}$) を求める。

2. 解き方の手順

(1)(a)

行列 $A$ が正規行列であるとは、$AA^* = A^*A$ を満たすことを言います。ここで、$A^*$ は $A$ の随伴行列(共役転置)です。

$A^* = \begin{pmatrix} -i & 0 & 0 \\ 0 & i & 2 \\ 0 & -2 & -i \end{pmatrix}$ なので、

$AA^* = \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & -i & -2 \\ 0 & 2 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -i & 0 & 0 \\ 0 & i & 2 \\ 0 & -2 & -i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

$A^*A = \begin{pmatrix} -i & 0 & 0 \\ 0 & i & 2 \\ 0 & -2 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & -i & -2 \\ 0 & 2 & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

となり、$AA^* = A^*A$ が成り立つので、$A$ は正規行列です。

(1)(b)

$A$ の固有値を求めるには、特性方程式 $\det(\lambda E - A) = 0$ を解きます。

$\lambda E - A = \begin{pmatrix} \lambda - i & 0 & 0 \\ 0 & \lambda + i & 2 \\ 0 & -2 & \lambda - i \end{pmatrix}$

$\det(\lambda E - A) = (\lambda - i) ((\lambda + i)(\lambda - i) + 4) = (\lambda - i) (\lambda^2 + 1 + 4) = (\lambda - i)(\lambda^2 + 5) = 0$

固有値は $\lambda = i, \pm \sqrt{5}i$

$\lambda = i$ のとき、

$(iE - A) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2i & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{v} = \mathbf{0}$

$2iv_2 + 2v_3 = 0$ より、$v_3 = -iv_2$。$v_1$ は任意。

よって、固有ベクトルは $c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -i \end{pmatrix}$ と表せる。

$\lambda = \sqrt{5} i$ のとき、

$(\sqrt{5}i E - A) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} (\sqrt{5}-1)i & 0 & 0 \\ 0 & (\sqrt{5}+1)i & 2 \\ 0 & -2 & (\sqrt{5}-1)i \end{pmatrix} \mathbf{v} = \mathbf{0}$

$v_1 = 0$

$(\sqrt{5}+1)i v_2 + 2v_3 = 0$ より、$v_3 = -\frac{(\sqrt{5}+1)}{2} i v_2$

固有ベクトルは $c \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -(\sqrt{5}+1)i \end{pmatrix}$

$\lambda = -\sqrt{5} i$ のとき、

$(-\sqrt{5}i E - A) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} (-\sqrt{5}-1)i & 0 & 0 \\ 0 & (-\sqrt{5}+1)i & 2 \\ 0 & -2 & (-\sqrt{5}-1)i \end{pmatrix} \mathbf{v} = \mathbf{0}$

$v_1 = 0$

$(-\sqrt{5}+1)i v_2 + 2v_3 = 0$ より、$v_3 = -\frac{(-\sqrt{5}+1)}{2} i v_2$

固有ベクトルは $c \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ (\sqrt{5}-1)i \end{pmatrix}$

(1)(c)

$A = \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & -i & -2 \\ 0 & 2 & i \end{pmatrix}$を対角化するユニタリ行列$U$は、規格化された固有ベクトルを並べて作ります。

固有ベクトルを正規化すると

$\lambda = i$ の固有ベクトル： $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -i \end{pmatrix}$を正規化すると$\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$\lambda = \sqrt{5} i$ の固有ベクトル： $c \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -(\sqrt{5}+1)i \end{pmatrix}$ を正規化する

$\sqrt{2^2+(\sqrt{5}+1)^2}=\sqrt{4+5+2\sqrt{5}+1}=\sqrt{10+2\sqrt{5}}$

$\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{2}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}} \\ -\frac{(\sqrt{5}+1)i}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}} \end{pmatrix}$

$\lambda = -\sqrt{5} i$ の固有ベクトル： $c \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ (\sqrt{5}-1)i \end{pmatrix}$ を正規化する

$\sqrt{2^2+(\sqrt{5}-1)^2}=\sqrt{4+5-2\sqrt{5}+1}=\sqrt{10-2\sqrt{5}}$

$\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{2}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \\ \frac{(\sqrt{5}-1)i}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \end{pmatrix}$

ユニタリ行列$U$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}} \\ 0 & -\frac{i}{\sqrt{2}} & -\frac{(\sqrt{5}+1)i}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}} \end{pmatrix}$

(2) $A^n$ を求める

$A$ を対角化した行列を $D$ とすると、$D = U^* A U = \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{5}i & 0 \\ 0 & 0 & -\sqrt{5}i \end{pmatrix}$

$A = U D U^*$ より、$A^n = U D^n U^*$ となります。

$D^n = \begin{pmatrix} i^n & 0 & 0 \\ 0 & (\sqrt{5}i)^n & 0 \\ 0 & 0 & (-\sqrt{5}i)^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)(a) $A$ は正規行列である。

(1)(b) 固有値：$i$, $\sqrt{5}i$, $-\sqrt{5}i$

固有ベクトルは上記参照

(1)(c)　ユニタリ行列の導出過程は上記参照

(2) $A^n = U D^n U^*$ 、ただし、$D^n = \begin{pmatrix} i^n & 0 & 0 \\ 0 & (\sqrt{5}i)^n & 0 \\ 0 & 0 & (-\sqrt{5}i)^n \end{pmatrix}$、$U$は(1)(c)で導出した行列