ベクトル空間$\mathbb{R}^3$の部分集合$W$が、部分空間であるかどうかを調べる問題です。 (1) $W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0\}$ (2) $W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 - 3x_2 + x_3 \le 1, 3x_1 + x_2 + 2x_3 \le 1\}$

1. 問題の内容

ベクトル空間$\mathbb{R}^3$の部分集合$W$が、部分空間であるかどうかを調べる問題です。

(1) $W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0\}$

(2) $W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 - 3x_2 + x_3 \le 1, 3x_1 + x_2 + 2x_3 \le 1\}$

2. 解き方の手順

(1)

部分空間であるための条件を確認します。

- ゼロベクトル$\mathbf{0}$が含まれているか。

- $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in W$ ならば $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in W$ か。

- $\mathbf{x} \in W$、スカラー$c$ ならば $c\mathbf{x} \in W$ か。

まず、ゼロベクトル$\mathbf{0} = (0, 0, 0)$を考えます。

$x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 = 0$ を与えられた方程式に代入すると、

$0 + 0 - 0 = 0$

$3(0) + 0 + 2(0) = 0$

となり、両方の式を満たすので、$\mathbf{0} \in W$です。

次に、$\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) \in W, \mathbf{y} = (y_1, y_2, y_3) \in W$ とします。

このとき、

$x_1 + x_2 - x_3 = 0$

$3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0$

$y_1 + y_2 - y_3 = 0$

$3y_1 + y_2 + 2y_3 = 0$

が成り立ちます。

$\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)$ が$W$に属するかどうかを調べます。

$(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) - (x_3 + y_3) = (x_1 + x_2 - x_3) + (y_1 + y_2 - y_3) = 0 + 0 = 0$

$3(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + 2(x_3 + y_3) = (3x_1 + x_2 + 2x_3) + (3y_1 + y_2 + 2y_3) = 0 + 0 = 0$

となり、$\mathbf{x} + \mathbf{y} \in W$です。

最後に、スカラー$c$に対して、$c\mathbf{x} = (cx_1, cx_2, cx_3)$ が$W$に属するかどうかを調べます。

$cx_1 + cx_2 - cx_3 = c(x_1 + x_2 - x_3) = c(0) = 0$

$3(cx_1) + cx_2 + 2(cx_3) = c(3x_1 + x_2 + 2x_3) = c(0) = 0$

となり、$c\mathbf{x} \in W$です。

したがって、$W$は$\mathbb{R}^3$の部分空間です。

(2)

同様に、部分空間であるための条件を確認します。

まず、ゼロベクトル$\mathbf{0} = (0, 0, 0)$を考えます。

$x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 = 0$ を与えられた不等式に代入すると、

$2(0) - 3(0) + 0 = 0 \le 1$

$3(0) + 0 + 2(0) = 0 \le 1$

となり、両方の不等式を満たすので、$\mathbf{0} \in W$です。

次に、$\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) \in W$ とします。スカラー$c$ に対して、$c\mathbf{x} = (cx_1, cx_2, cx_3)$ が$W$に属するかどうかを調べます。$c=0$であればゼロベクトルなので$W$に属しますが、$c$が任意の数で成り立つ必要があります。

$2(cx_1) - 3(cx_2) + cx_3 = c(2x_1 - 3x_2 + x_3) \le 1$

$3(cx_1) + cx_2 + 2(cx_3) = c(3x_1 + x_2 + 2x_3) \le 1$

$\mathbf{x} = (0, 0, 0)$ でない場合、$c$を非常に大きな値にすると、これらの不等式は成り立たなくなります。したがって、$c\mathbf{x} \notin W$となる場合があるので、$W$は$\mathbb{R}^3$の部分空間ではありません。

例えば、$\mathbf{x} = (0,0,1)$を考えると、

$2*0 -3*0 + 1 = 1 \le 1$

$3*0 + 0 + 2*1 = 2 \nleq 1$

なので$\mathbf{x} \notin W$。

$\mathbf{x}=(0, 0, 0)$は、$W$に属します。ここで、$c=-1$を考えると

$2x_1 - 3x_2 + x_3 \le 1$

$2(0) - 3(0) + 0 = 0 \le 1$

$-1\mathbf{x}=(0,0,0)$なので、$W$に属するが、$c$を大きくすると$c\mathbf{x}$が$W$に属さなくなる。

3. 最終的な答え

(1) 部分空間である。

(2) 部分空間ではない。