与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $3x^2+2x+5 = a+b(x-1)+c(x-1)(x-2)$

右辺を展開して整理します。

$a + b(x-1) + c(x-1)(x-2) = a + bx - b + c(x^2 - 3x + 2) = a + bx - b + cx^2 - 3cx + 2c = cx^2 + (b - 3c)x + (a - b + 2c)$

左辺と右辺の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $3 = c$

$x$ の係数: $2 = b - 3c$

定数項: $5 = a - b + 2c$

$c = 3$ を $2 = b - 3c$ に代入すると、$2 = b - 3(3)$ より $b = 2 + 9 = 11$

$a - b + 2c = 5$ に $b = 11$, $c = 3$ を代入すると、$a - 11 + 2(3) = 5$ より $a = 5 + 11 - 6 = 10$

(2) $ax(x+2) + b(x-3) = -x^2 + c$

左辺を展開して整理します。

$ax(x+2) + b(x-3) = ax^2 + 2ax + bx - 3b = ax^2 + (2a + b)x - 3b$

左辺と右辺の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $a = -1$

$x$ の係数: $2a + b = 0$

定数項: $-3b = c$

$a = -1$ を $2a + b = 0$ に代入すると、$2(-1) + b = 0$ より $b = 2$

$-3b = c$ に $b = 2$ を代入すると、$c = -3(2) = -6$

(3) $\frac{2x+3}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}$

両辺に $(x-1)(x-2)$ をかけます。

$2x + 3 = a(x-2) + b(x-1)$

$2x + 3 = ax - 2a + bx - b = (a+b)x - (2a+b)$

左辺と右辺の係数を比較します。

$x$ の係数: $2 = a+b$

定数項: $3 = -(2a+b)$

$a+b = 2$ と $2a+b = -3$ の連立方程式を解きます。

$2a + b - (a+b) = -3 - 2$ より $a = -5$

$a + b = 2$ に $a = -5$ を代入すると、$-5 + b = 2$ より $b = 7$

(4) $\frac{2x}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+1}$

両辺に $(x-1)(x^2+1)$ をかけます。

$2x = a(x^2+1) + (bx+c)(x-1)$

$2x = ax^2 + a + bx^2 - bx + cx - c = (a+b)x^2 + (-b+c)x + (a-c)$

左辺と右辺の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $0 = a+b$

$x$ の係数: $2 = -b+c$

定数項: $0 = a-c$

$a + b = 0$ より $b = -a$

$a = c$ を $-b + c = 2$ に代入すると、$-b + a = 2$

$-(-a) + a = 2$ より $2a = 2$, $a = 1$

$b = -a$ より $b = -1$

$c = a$ より $c = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 10$, $b = 11$, $c = 3$

(2) $a = -1$, $b = 2$, $c = -6$

(3) $a = -5$, $b = 7$

(4) $a = 1$, $b = -1$, $c = 1$