ベクトル空間 $\mathbb{R}^3$ の部分集合 $W$ が与えられたとき、$W$ が部分空間であるかどうかを調べる問題です。具体的には、以下の4つの $W$ について判定します。 (1) $W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \}$ (2) $W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 - 3x_2 + x_3 \le 1, 3x_1 + x_2 + 2x_3 \le 1 \}$ (3) $W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_3 = 2x_1 - 3x_2, 3x_3 = x_1 + 2x_2 \}$ (4) $W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 = 0, x_1 - x_2 + 2x_3 = 1 \}$

1. 問題の内容

ベクトル空間 $\mathbb{R}^3$ の部分集合 $W$ が与えられたとき、$W$ が部分空間であるかどうかを調べる問題です。具体的には、以下の4つの $W$ について判定します。

(1) $W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \}$

(2) $W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 - 3x_2 + x_3 \le 1, 3x_1 + x_2 + 2x_3 \le 1 \}$

(3) $W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_3 = 2x_1 - 3x_2, 3x_3 = x_1 + 2x_2 \}$

(4) $W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 = 0, x_1 - x_2 + 2x_3 = 1 \}$

2. 解き方の手順

部分空間であるための条件は、

(1) ゼロベクトルを含むこと

(2) スカラー倍で閉じていること

(3) 和で閉じていること

の3つです。

(1)

$x_1 + x_2 - x_3 = 0$ と $3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0$ を満たすベクトル $\mathbf{0} = (0, 0, 0)$ は $0 + 0 - 0 = 0$ かつ $3(0) + 0 + 2(0) = 0$ より、条件を満たすので $\mathbf{0} \in W$ です。

$W$ の任意の元 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)$ とスカラー $c \in \mathbb{R}$ に対して、$c\mathbf{x} = (cx_1, cx_2, cx_3)$ とすると、

$cx_1 + cx_2 - cx_3 = c(x_1 + x_2 - x_3) = c(0) = 0$

$3cx_1 + cx_2 + 2cx_3 = c(3x_1 + x_2 + 2x_3) = c(0) = 0$

なので、$c\mathbf{x} \in W$ です。

$W$ の任意の元 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)$ と $\mathbf{y} = (y_1, y_2, y_3)$ に対して、$\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)$ とすると、

$(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) - (x_3 + y_3) = (x_1 + x_2 - x_3) + (y_1 + y_2 - y_3) = 0 + 0 = 0$

$3(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + 2(x_3 + y_3) = (3x_1 + x_2 + 2x_3) + (3y_1 + y_2 + 2y_3) = 0 + 0 = 0$

なので、$\mathbf{x} + \mathbf{y} \in W$ です。

したがって、$W$ は部分空間です。

(2)

ベクトル $\mathbf{0} = (0, 0, 0)$ は $2(0) - 3(0) + 0 = 0 \le 1$ かつ $3(0) + 0 + 2(0) = 0 \le 1$ より、$\mathbf{0} \in W$ です。

$\mathbf{x} = (0, 0, 1)$ を考えると、$2(0) - 3(0) + 1 = 1 \le 1$ かつ $3(0) + 0 + 2(1) = 2 \nleq 1$ より、$\mathbf{x} \notin W$ です。したがって、$\mathbf{x}=(0,0,0.5)$とすると、$2x_1 - 3x_2 + x_3 = 0.5 \le 1$, $3x_1+x_2+2x_3=1 \le 1$を満たすので、$\mathbf{x} \in W$です。

ここで、$c=4$とおくと、$c\mathbf{x} = (0, 0, 2)$となり、$2(0) - 3(0) + 2 = 2 \nleq 1$より、$c\mathbf{x} \notin W$ です。

したがって、$W$ はスカラー倍で閉じていないので、部分空間ではありません。

(3)

$x_3 = 2x_1 - 3x_2$ と $3x_3 = x_1 + 2x_2$ を満たすベクトル $\mathbf{0} = (0, 0, 0)$ は $0 = 2(0) - 3(0)$ かつ $3(0) = 0 + 2(0)$ より、$\mathbf{0} \in W$ です。

$W$ の任意の元 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)$ とスカラー $c \in \mathbb{R}$ に対して、$c\mathbf{x} = (cx_1, cx_2, cx_3)$ とすると、

$cx_3 = c(2x_1 - 3x_2) = 2(cx_1) - 3(cx_2)$

$3(cx_3) = c(3x_3) = c(x_1 + 2x_2) = cx_1 + 2cx_2$

なので、$c\mathbf{x} \in W$ です。

$W$ の任意の元 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)$ と $\mathbf{y} = (y_1, y_2, y_3)$ に対して、$\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)$ とすると、

$x_3 + y_3 = (2x_1 - 3x_2) + (2y_1 - 3y_2) = 2(x_1 + y_1) - 3(x_2 + y_2)$

$3(x_3 + y_3) = (x_1 + 2x_2) + (y_1 + 2y_2) = (x_1 + y_1) + 2(x_2 + y_2)$

なので、$\mathbf{x} + \mathbf{y} \in W$ です。

したがって、$W$ は部分空間です。

(4)

ベクトル $\mathbf{0} = (0, 0, 0)$ は $0^2 + 0^2 - 0^2 = 0$ を満たしますが、$0 - 0 + 2(0) = 0 \ne 1$ より、$\mathbf{0} \notin W$ です。

したがって、$W$ は部分空間ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 部分空間である。

(2) 部分空間ではない。

(3) 部分空間である。

(4) 部分空間ではない。