Q6：3つの3次元ベクトルが平行六面体の1つの頂点から出る3つの辺を作るとき、このベクトルの組が線形独立であるかないかを答える。 Q7：$n$次元ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ が $2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} - \mathbf{c} = \mathbf{0}$ を満たしているとき、 (1) このベクトルの組が線形独立であるかないか (2) $\mathbf{a}$ が $\mathbf{b}, \mathbf{c}$ の線形和で表せるか表せないか (3) $\mathbf{b}$ が $\mathbf{a}, \mathbf{c}$ の、$\mathbf{c}$ が $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ の線形和で表せるか表せないかを答える。 Q8：ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ が線形独立かどうかを判定する。 線形独立性テスト $s\mathbf{a} + t\mathbf{b} + u\mathbf{c} = \mathbf{0}$ を行い、連立一次方程式を解いたとき、 (1) $s=t=u=0$ のみに解があるときと、$s=t=u=0$ 以外にも解があるときで、線形独立性テストが成立するかどうか (2) $s=t=u=0$ のみに解があるときと、$s=t=u=0$ 以外にも解があるときで、線形独立性テストが不成立かどうか (3) 実際に解を求め、与えられたベクトルが線形独立であるかないかを答える。

1. 問題の内容

Q6：3つの3次元ベクトルが平行六面体の1つの頂点から出る3つの辺を作るとき、このベクトルの組が線形独立であるかないかを答える。

Q7：$n$次元ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ が $2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} - \mathbf{c} = \mathbf{0}$ を満たしているとき、

(1) このベクトルの組が線形独立であるかないか

(2) $\mathbf{a}$ が $\mathbf{b}, \mathbf{c}$ の線形和で表せるか表せないか

(3) $\mathbf{b}$ が $\mathbf{a}, \mathbf{c}$ の、$\mathbf{c}$ が $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ の線形和で表せるか表せないかを答える。

Q8：ベクトル

$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

が線形独立かどうかを判定する。

線形独立性テスト $s\mathbf{a} + t\mathbf{b} + u\mathbf{c} = \mathbf{0}$ を行い、連立一次方程式を解いたとき、

(1) $s=t=u=0$ のみに解があるときと、$s=t=u=0$ 以外にも解があるときで、線形独立性テストが成立するかどうか

(2) $s=t=u=0$ のみに解があるときと、$s=t=u=0$ 以外にも解があるときで、線形独立性テストが不成立かどうか

(3) 実際に解を求め、与えられたベクトルが線形独立であるかないかを答える。

2. 解き方の手順

Q6：

平行六面体の1つの頂点から出る3つの辺を作る3つの3次元ベクトルは、線形独立です。もし線形従属なら、それらは同じ平面上にあります。

Q7：

(1) $2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} - \mathbf{c} = \mathbf{0}$ の関係があるので、$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ は線形従属です。

(2) $2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} - \mathbf{c} = \mathbf{0}$ を $\mathbf{a}$ について解くと、

$2\mathbf{a} = -3\mathbf{b} + \mathbf{c}$

$\mathbf{a} = -\frac{3}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{2}\mathbf{c}$

となるので、$\mathbf{a}$ は $\mathbf{b}, \mathbf{c}$ の線形和で表せます。

(3) $2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} - \mathbf{c} = \mathbf{0}$ を $\mathbf{b}$ について解くと、

$3\mathbf{b} = -2\mathbf{a} + \mathbf{c}$

$\mathbf{b} = -\frac{2}{3}\mathbf{a} + \frac{1}{3}\mathbf{c}$

となるので、$\mathbf{b}$ は $\mathbf{a}, \mathbf{c}$ の線形和で表せます。

$2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} - \mathbf{c} = \mathbf{0}$ を $\mathbf{c}$ について解くと、

$\mathbf{c} = 2\mathbf{a} + 3\mathbf{b}$

となるので、$\mathbf{c}$ は $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ の線形和で表せます。

Q8：

$s\mathbf{a} + t\mathbf{b} + u\mathbf{c} = \mathbf{0}$ を解きます。

$s\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + u\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} s + t + u \\ t + 3u \\ s + t + u \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

連立方程式は次のようになります。

$s + t + u = 0$

$t + 3u = 0$

$s + t + u = 0$

2番目の式から $t = -3u$ を得ます。

最初の式に代入すると、

$s - 3u + u = 0$

$s - 2u = 0$

$s = 2u$

$u$ を任意の値とすると、$s = 2u, t = -3u$ となります。

$u = 1$ とすると、$s = 2, t = -3$ となり、

$2\mathbf{a} - 3\mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{0}$

$\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

(1) $s=t=u=0$ 以外にも解があれば、線形独立性テストは不成立です。

(2) $s=t=u=0$ 以外にも解があれば、このベクトルの組は線形独立ではありません。

(3) 実際に解を求めた結果、$s=t=u=0$ 以外の解が存在するので、この組は線形独立ではありません。

3. 最終的な答え

Q6：ない

Q7：(1) ない (2) 表せる (3) 表せる

Q8：(1) b (2) b (3) ない