与えられた式 $(x-y)^3 + (y-z)^3$ を因数分解する問題です。画像の解答を参考にします。

代数学因数分解式の展開多項式
2025/8/3

1. 問題の内容

与えられた式 (xy)3+(yz)3(x-y)^3 + (y-z)^3 を因数分解する問題です。画像の解答を参考にします。

2. 解き方の手順

a. A3+B3=(A+B)(A2AB+B2)A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2) の公式を利用します。ここで A=xyA = x-yB=yzB = y-z とおくと、
(xy)3+(yz)3=((xy)+(yz))((xy)2(xy)(yz)+(yz)2)(x-y)^3 + (y-z)^3 = ((x-y) + (y-z))((x-y)^2 - (x-y)(y-z) + (y-z)^2)
b. (xy)+(yz)(x-y) + (y-z) を計算すると xzx-z となります。
c. (xy)2(x-y)^2 を展開すると x22xy+y2x^2 - 2xy + y^2 となります。
d. (xy)(yz)(x-y)(y-z) を展開すると xyxzy2+yzxy - xz - y^2 + yz となります。
e. (yz)2(y-z)^2 を展開すると y22yz+z2y^2 - 2yz + z^2 となります。
f. 上記の結果を式に代入すると、
(xz)(x22xy+y2(xyxzy2+yz)+y22yz+z2)(x-z)(x^2 - 2xy + y^2 - (xy - xz - y^2 + yz) + y^2 - 2yz + z^2)
g. 括弧の中を整理すると、
(xz)(x22xy+y2xy+xz+y2yz+y22yz+z2)(x-z)(x^2 - 2xy + y^2 - xy + xz + y^2 - yz + y^2 - 2yz + z^2)
(xz)(x23xy+3y23yz+xz+z2)(x-z)(x^2 - 3xy + 3y^2 - 3yz + xz + z^2)
(xz)(x2+3y2+z23xy3yz+xz)(x-z)(x^2 + 3y^2 + z^2 - 3xy - 3yz + xz)

3. 最終的な答え

(xz)(x2+3y2+z23xy3yz+zx)(x-z)(x^2 + 3y^2 + z^2 - 3xy - 3yz + zx)

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