数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = n \cdot 2^{n-1}$ で与えられているとき、和 $S = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ を $S-2S$ を計算することで求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = n \cdot 2^{n-1}$ で与えられているとき、和 $S = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ を $S-2S$ を計算することで求める。

2. 解き方の手順

まず、$S$ と $2S$ をそれぞれ書き下します。

$S = 1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$

$2S = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^n$

次に、$S - 2S$ を計算します。

$S - 2S = (1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}) - (1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^n)$

$S - 2S = 1 \cdot 2^0 + (2 \cdot 2^1 - 1 \cdot 2^1) + (3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2^2) + \dots + (n \cdot 2^{n-1} - (n-1) \cdot 2^{n-1}) - n \cdot 2^n$

$S - 2S = 1 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} - n \cdot 2^n$

等比数列の和の公式を用いて、$1 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}$ を計算します。これは初項 1、公比 2、項数 n の等比数列の和なので、

$1 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

したがって、

$S - 2S = 2^n - 1 - n \cdot 2^n$

$-S = 2^n - 1 - n \cdot 2^n$

$S = -2^n + 1 + n \cdot 2^n = (n-1)2^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)2^n + 1$