与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$, ベクトル $x = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ に対して、以下の計算を行いなさい。 (1) $A + B$ (2) $AB$ (3) $Ax$ (4) $\det A$ (5) $\det B$ (6) $\det(BA)$ (導出過程も書くこと) (7) $^tA$ (Aの転置行列) (8) $A^{-1}$ (Aの逆行列)

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$, ベクトル $x = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ に対して、以下の計算を行いなさい。

(1) $A + B$

(2) $AB$

(3) $Ax$

(4) $\det A$

(5) $\det B$

(6) $\det(BA)$ (導出過程も書くこと)

(7) $^tA$ (Aの転置行列)

(8) $A^{-1}$ (Aの逆行列)

2. 解き方の手順

(1) $A + B$: 行列の足し算は、対応する要素同士を足し合わせます。

$A + B = \begin{pmatrix} 2+6 & 4+3 \\ 3+4 & 5+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$

(2) $AB$: 行列の掛け算は、行と列の内積を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot6 + 4\cdot4 & 2\cdot3 + 4\cdot2 \\ 3\cdot6 + 5\cdot4 & 3\cdot3 + 5\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12+16 & 6+8 \\ 18+20 & 9+10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 28 & 14 \\ 38 & 19 \end{pmatrix}$

(3) $Ax$: 行列とベクトルの掛け算も、行と列の内積を計算します。

$Ax = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot3 + 4\cdot5 \\ 3\cdot3 + 5\cdot5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+20 \\ 9+25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 26 \\ 34 \end{pmatrix}$

(4) $\det A$: $2 \times 2$行列の行列式は、$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$で計算します。

$\det A = 2\cdot5 - 4\cdot3 = 10 - 12 = -2$

(5) $\det B$: 同様に、

$\det B = 6\cdot2 - 3\cdot4 = 12 - 12 = 0$

(6) $\det(BA)$: $\det(BA) = \det B \cdot \det A$ という性質を利用します。

$\det(BA) = \det B \cdot \det A = 0 \cdot (-2) = 0$

導出過程：

$BA = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\cdot2+3\cdot3 & 6\cdot4+3\cdot5 \\ 4\cdot2+2\cdot3 & 4\cdot4+2\cdot5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12+9 & 24+15 \\ 8+6 & 16+10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 & 39 \\ 14 & 26 \end{pmatrix}$

$\det(BA) = 21\cdot26 - 39\cdot14 = 546 - 546 = 0$

(7) $^tA$: 転置行列は、行と列を入れ替えます。

$^tA = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$

(8) $A^{-1}$: $2 \times 2$行列の逆行列は、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$のとき、$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$で計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5/2 & 2 \\ 3/2 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A + B = \begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$

(2) $AB = \begin{pmatrix} 28 & 14 \\ 38 & 19 \end{pmatrix}$

(3) $Ax = \begin{pmatrix} 26 \\ 34 \end{pmatrix}$

(4) $\det A = -2$

(5) $\det B = 0$

(6) $\det(BA) = 0$

(7) $^tA = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$

(8) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -5/2 & 2 \\ 3/2 & -1 \end{pmatrix}$