与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -4 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ を対角化する行列 $P$ とその逆行列 $P^{-1}$ を求め、対角化 $P^{-1}AP$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -4 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ を対角化する行列 $P$ とその逆行列 $P^{-1}$ を求め、対角化 $P^{-1}AP$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求めます。固有方程式は

$|A - \lambda I| = 0$

ここで $I$ は単位行列です。すなわち、

$| \begin{bmatrix} -4 - \lambda & -2 \\ 3 & 1 - \lambda \end{bmatrix} | = (-4 - \lambda)(1 - \lambda) - (-2)(3) = 0$

$-4 + 4\lambda - \lambda + \lambda^2 + 6 = 0$

$\lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0$

$(\lambda + 1)(\lambda + 2) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = -1$ と $\lambda_2 = -2$ です。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = -1$ のとき、$(A - \lambda_1 I) \vec{v_1} = \vec{0}$ を解きます。

$\begin{bmatrix} -4 - (-1) & -2 \\ 3 & 1 - (-1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-3x - 2y = 0$

$y = -\frac{3}{2}x$

よって、固有ベクトルは $\vec{v_1} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}$ となります。

$\lambda_2 = -2$ のとき、$(A - \lambda_2 I) \vec{v_2} = \vec{0}$ を解きます。

$\begin{bmatrix} -4 - (-2) & -2 \\ 3 & 1 - (-2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2 & -2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-2x - 2y = 0$

$x = -y$

よって、固有ベクトルは $\vec{v_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ となります。

行列 $P$ は、固有ベクトルを列ベクトルとして並べたものです。

$P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}$

行列 $P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求めます。

$det(P) = (2)(-1) - (1)(-3) = -2 + 3 = 1$

$P^{-1} = \frac{1}{det(P)} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

最後に、対角化 $P^{-1}AP$ を計算します。

$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -6 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}$

$P^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$