2次関数 $y = -2x^2 + 4x + c$ に関する3つの問題が出題されています。 (1) 頂点のy座標を $c$ で表す。 (2) $x$軸と共有点を持たないような $c$ の範囲を求める。 (3) $-1 \le x \le 2$ の範囲における最小値が $-2$ となるような $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 4x + c$ に関する3つの問題が出題されています。

(1) 頂点のy座標を $c$ で表す。

(2) $x$軸と共有点を持たないような $c$ の範囲を求める。

(3) $-1 \le x \le 2$ の範囲における最小値が $-2$ となるような $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点のy座標を求める。

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 4x + c = -2(x^2 - 2x) + c = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + c = -2((x-1)^2 - 1) + c = -2(x-1)^2 + 2 + c$

したがって、頂点の座標は $(1, 2+c)$ となり、頂点のy座標は $2+c$ です。

(2) $x$軸と共有点を持たない条件を求める。

$x$軸と共有点を持たないということは、判別式 $D$ が $D < 0$ である必要があります。

$y = -2x^2 + 4x + c = 0$ の判別式は、

$D = 4^2 - 4(-2)(c) = 16 + 8c$

$D < 0$ であるとき、$16 + 8c < 0$ より、 $8c < -16$, よって $c < -2$ です。

(3) 最小値を求める。

$y = -2(x-1)^2 + 2 + c$

軸は $x = 1$ であり、定義域 $-1 \le x \le 2$ の範囲に軸が含まれるので、頂点で最大値をとります。

定義域の端点である $x = -1$ と $x = 2$ での値を比較します。

$x = -1$ のとき、$y = -2(-1-1)^2 + 2 + c = -2(-2)^2 + 2 + c = -8 + 2 + c = -6 + c$

$x = 2$ のとき、$y = -2(2-1)^2 + 2 + c = -2(1)^2 + 2 + c = -2 + 2 + c = c$

$x=-1$ のとき最小値をとる可能性がある。

条件より、$-6 + c = -2$ となるので、$c = 4$

$x=2$ のとき最小値をとる可能性がある。

条件より、$c = -2$

$c=4$ のとき、$-1 \le x \le 2$ における$y$の最小値は、x=-1のとき、$y = -2(-1)^2 + 4(-1) + 4 = -2 - 4 + 4 = -2$ である。

$c=-2$ のとき、$-1 \le x \le 2$ における$y$の最小値は、x=2のとき、$y = -2(2)^2 + 4(2) - 2 = -8 + 8 - 2 = -2$ である。

したがって、求める $c$ の値は $c=4$と$c=-2$です。

3. 最終的な答え

(1) $2+c$

(2) $c < -2$

(3) $c = 4$, $c = -2$