与えられた関数群が線形独立であることを証明する問題です。具体的には、(1) $e^t$, $te^t$、(2) $e^{\alpha t}$, $e^{\beta t}$ ($\alpha \neq \beta$)、(3) $t^n$, $t^m$ ($n \neq m$)、(4) $\log t$, $t \log t$ が線形独立であることをそれぞれ示します。

1. 問題の内容

与えられた関数群が線形独立であることを証明する問題です。具体的には、(1) $e^t$, $te^t$、(2) $e^{\alpha t}$, $e^{\beta t}$ ($\alpha \neq \beta$)、(3) $t^n$, $t^m$ ($n \neq m$)、(4) $\log t$, $t \log t$ が線形独立であることをそれぞれ示します。

2. 解き方の手順

関数 $f_1(t), f_2(t), \dots, f_n(t)$ が線形独立であるとは、$c_1 f_1(t) + c_2 f_2(t) + \dots + c_n f_n(t) = 0$ が全ての $t$ で成り立つならば、$c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0$ であることを意味します。つまり、線形結合が恒等的にゼロになるのは、全ての係数がゼロの場合のみであることを示す必要があります。

(1) $e^t$ と $te^t$ の場合：

$c_1 e^t + c_2 te^t = 0$ が全ての $t$ で成り立つと仮定します。

$e^t$ で割ると、$c_1 + c_2 t = 0$ となります。

これは $t$ の恒等式なので、$c_1 = 0$ かつ $c_2 = 0$ である必要があります。

したがって、$e^t$ と $te^t$ は線形独立です。

(2) $e^{\alpha t}$ と $e^{\beta t}$ ($\alpha \neq \beta$) の場合：

$c_1 e^{\alpha t} + c_2 e^{\beta t} = 0$ が全ての $t$ で成り立つと仮定します。

$t = 0$ を代入すると、$c_1 + c_2 = 0$ となります。

次に、式を微分すると、$c_1 \alpha e^{\alpha t} + c_2 \beta e^{\beta t} = 0$ となります。

$t = 0$ を代入すると、$c_1 \alpha + c_2 \beta = 0$ となります。

$c_1 + c_2 = 0$ と $c_1 \alpha + c_2 \beta = 0$ を連立方程式として解くと、

$c_1 = -c_2$ なので、$-c_2 \alpha + c_2 \beta = 0$ つまり $c_2 (\beta - \alpha) = 0$ となります。

$\alpha \neq \beta$ より、$\beta - \alpha \neq 0$ なので、$c_2 = 0$ となります。

したがって、$c_1 = 0$ でもあります。

したがって、$e^{\alpha t}$ と $e^{\beta t}$ は線形独立です。

(3) $t^n$ と $t^m$ ($n \neq m$) の場合：

$c_1 t^n + c_2 t^m = 0$ が全ての $t$ で成り立つと仮定します。

$n > m$ と仮定しても一般性を失いません。$t^m$ で割ると、$c_1 t^{n-m} + c_2 = 0$ となります。

これは $t$ の恒等式なので、$n \neq m$ より、$n-m > 0$ となり、$c_1 = 0$ かつ $c_2 = 0$ である必要があります。

したがって、$t^n$ と $t^m$ は線形独立です。

(4) $\log t$ と $t \log t$ の場合：

$c_1 \log t + c_2 t \log t = 0$ が全ての $t$ で成り立つと仮定します。

$\log t$ で割ると、$c_1 + c_2 t = 0$ となります。

これは $t$ の恒等式なので、$c_1 = 0$ かつ $c_2 = 0$ である必要があります。

したがって、$\log t$ と $t \log t$ は線形独立です。

3. 最終的な答え

(1) $e^t$ と $te^t$ は線形独立である。

(2) $e^{\alpha t}$ と $e^{\beta t}$ ($\alpha \neq \beta$) は線形独立である。

(3) $t^n$ と $t^m$ ($n \neq m$) は線形独立である。

(4) $\log t$ と $t \log t$ は線形独立である。