放物線 $y = x^2 - 2ax + 1$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線が原点を通るとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2ax + 1$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線が原点を通るとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 - 2ax + 1$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

平行移動後の放物線の方程式は、

$y - 3 = (x + 2)^2 - 2a(x + 2) + 1$

となる。

これを整理すると、

$y = (x + 2)^2 - 2a(x + 2) + 4$

$y = x^2 + 4x + 4 - 2ax - 4a + 4$

$y = x^2 + (4 - 2a)x + 8 - 4a$

この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るから、

$0 = 0^2 + (4 - 2a) \cdot 0 + 8 - 4a$

$0 = 8 - 4a$

$4a = 8$

$a = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2$