周囲の長さが $100$ cm で、縦の長さが横の長さよりも小さい長方形がある。この長方形の面積が $600$ cm$^2$ 以上であるとき、縦の長さの範囲を求める。

1. 問題の内容

周囲の長さが $100$ cm で、縦の長さが横の長さよりも小さい長方形がある。この長方形の面積が $600$ cm$^2$ 以上であるとき、縦の長さの範囲を求める。

2. 解き方の手順

縦の長さを $x$ cm、横の長さを $y$ cm とする。

長方形の周囲の長さは $2(x+y)$ であり、これが $100$ cm であるから、

$2(x+y) = 100$

$x+y = 50$

$y = 50-x$

長方形の面積は $xy$ であり、これが $600$ cm$^2$ 以上であるから、

$xy \ge 600$

$y = 50-x$ を代入すると、

$x(50-x) \ge 600$

$50x - x^2 \ge 600$

$x^2 - 50x + 600 \le 0$

二次方程式 $x^2 - 50x + 600 = 0$ を解くと、

$x = \frac{50 \pm \sqrt{50^2 - 4 \cdot 600}}{2} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 2400}}{2} = \frac{50 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{50 \pm 10}{2}$

$x = \frac{50+10}{2} = \frac{60}{2} = 30$ または $x = \frac{50-10}{2} = \frac{40}{2} = 20$

したがって、$x^2 - 50x + 600 \le 0$ の解は $20 \le x \le 30$ である。

問題文より、縦の長さは横の長さよりも小さい、つまり $x < y$ である。

$x < y = 50-x$ より $2x < 50$ なので、$x < 25$ である。

したがって、$20 \le x < 25$ である。

3. 最終的な答え

縦の長さは $20$ cm 以上 $25$ cm 未満の範囲にある。