与えられた置換 $ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} $ について、以下の2つの問題に答えます。 (1) $ \sigma $ を同じ文字を含まない巡回置換の積で表します。 (2) (1)の結果を互換の積で表すことにより、 $ \sigma $ の符号 $ \text{sgn } \sigma $ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた置換 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ について、以下の2つの問題に答えます。

(1) $\sigma$ を同じ文字を含まない巡回置換の積で表します。

(2) (1)の結果を互換の積で表すことにより、 $\sigma$ の符号 $\text{sgn } \sigma$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 巡回置換の積で表す

まず、与えられた置換を巡回置換として追跡します。

- 1から始めると、$\sigma(1) = 6$ , $\sigma(6) = 1$ なので、巡回置換(1 6)を得ます。

- 次に、まだ含まれていない最小の数2から始めると、$\sigma(2) = 5$, $\sigma(5) = 4$, $\sigma(4) = 2$ なので、巡回置換(2 5 4)を得ます。

- 最後に、3は、$\sigma(3) = 3$なので、巡回置換(3)を得ます。これは恒等置換なので、省略できます。

したがって、 $\sigma$ は巡回置換の積として $\sigma = (1 \ 6)(2 \ 5 \ 4)$ と表されます。

(2) 互換の積で表し、符号を求める

巡回置換を互換の積で表します。

- (1 6) はすでに互換です。

- (2 5 4) は (2 5)(5 4) と分解できます。

したがって、$\sigma$ は互換の積として $\sigma = (1 \ 6)(2 \ 5)(5 \ 4)$ と表されます。

$\sigma$ は3つの互換の積で表されるので、 $\text{sgn } \sigma = (-1)^3 = -1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sigma = (1 \ 6)(2 \ 5 \ 4)$

(2) $\text{sgn } \sigma = -1$