与えられた複素数の式を計算します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $(-4+3i)-(5-2i)$

実部と虚部をそれぞれ計算します。

$(-4-5) + (3-(-2))i = -9 + 5i$

(2) $(6-4i)(5+3i)$

分配法則を用いて展開します。

$(6)(5) + (6)(3i) + (-4i)(5) + (-4i)(3i) = 30 + 18i - 20i - 12i^2$

$i^2 = -1$ なので、 $30 + 18i - 20i + 12 = 42 - 2i$

(3) $(4-3i)^2$

$(4-3i)(4-3i)$ を計算します。

$(4)(4) + (4)(-3i) + (-3i)(4) + (-3i)(-3i) = 16 - 12i - 12i + 9i^2$

$i^2 = -1$ なので、 $16 - 24i - 9 = 7 - 24i$

(4) $\frac{1+7i}{4+3i}$

分母の共役複素数をかけて分母を実数化します。

$\frac{1+7i}{4+3i} \cdot \frac{4-3i}{4-3i} = \frac{(1+7i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)}$

分子: $(1)(4) + (1)(-3i) + (7i)(4) + (7i)(-3i) = 4 - 3i + 28i - 21i^2 = 4 + 25i + 21 = 25 + 25i$

分母: $(4)^2 + (3)^2 = 16 + 9 = 25$

$\frac{25+25i}{25} = \frac{25}{25} + \frac{25}{25}i = 1+i$

(5) $\frac{2+\sqrt{3}i}{2-\sqrt{3}i}$

分母の共役複素数をかけて分母を実数化します。

$\frac{2+\sqrt{3}i}{2-\sqrt{3}i} \cdot \frac{2+\sqrt{3}i}{2+\sqrt{3}i} = \frac{(2+\sqrt{3}i)(2+\sqrt{3}i)}{(2-\sqrt{3}i)(2+\sqrt{3}i)}$

分子: $(2)(2) + (2)(\sqrt{3}i) + (\sqrt{3}i)(2) + (\sqrt{3}i)(\sqrt{3}i) = 4 + 2\sqrt{3}i + 2\sqrt{3}i + 3i^2 = 4 + 4\sqrt{3}i - 3 = 1 + 4\sqrt{3}i$

分母: $(2)^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$

$\frac{1+4\sqrt{3}i}{7} = \frac{1}{7} + \frac{4\sqrt{3}}{7}i$

(6) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{-6}}$

$\sqrt{-6} = \sqrt{6}i$ なので、 $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{-6}} = \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}i} = \frac{\sqrt{4}\sqrt{6}}{\sqrt{6}i} = \frac{2}{i}$

$\frac{2}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-2i}{-i^2} = \frac{-2i}{1} = -2i$

3. 最終的な答え

(1) $-9+5i$

(2) $42-2i$

(3) $7-24i$

(4) $1+i$

(5) $\frac{1}{7}+\frac{4\sqrt{3}}{7}i$

(6) $-2i$