与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} x-1 & -2 \\ x & x-6 \end{pmatrix}$ が逆行列を持つための $x$ に関する条件を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} x-1 & -2 \\ x & x-6 \end{pmatrix}$ が逆行列を持つための $x$ に関する条件を求める。

2. 解き方の手順

行列 $A$ が逆行列を持つための必要十分条件は、その行列式 $\det(A)$ が $0$ でないことである。

まず、行列式を計算する。

$\det(A) = (x-1)(x-6) - (-2)(x)$

$\det(A) = x^2 - 6x - x + 6 + 2x$

$\det(A) = x^2 - 5x + 6$

次に、$\det(A) \neq 0$ となる条件を求める。

$x^2 - 5x + 6 \neq 0$

$(x-2)(x-3) \neq 0$

したがって、$x \neq 2$ かつ $x \neq 3$ である。

3. 最終的な答え

$x \neq 2$ かつ $x \neq 3$