$x > 0$ のとき、不等式 $\frac{1}{1+x} > 1-x$ が成り立つことを証明する。代数学不等式証明代数計算2025/8/31. 問題の内容x>0x > 0x>0 のとき、不等式 11+x>1−x\frac{1}{1+x} > 1-x1+x1>1−x が成り立つことを証明する。2. 解き方の手順与えられた不等式の両辺の差をとり、それが正であることを示す。つまり、11+x−(1−x)>0\frac{1}{1+x} - (1-x) > 01+x1−(1−x)>0 を示す。まず、左辺を通分する。11+x−(1−x)=1−(1−x)(1+x)1+x \frac{1}{1+x} - (1-x) = \frac{1 - (1-x)(1+x)}{1+x} 1+x1−(1−x)=1+x1−(1−x)(1+x)分子を展開して整理する。1−(1−x2)1+x=1−1+x21+x=x21+x \frac{1 - (1 - x^2)}{1+x} = \frac{1 - 1 + x^2}{1+x} = \frac{x^2}{1+x} 1+x1−(1−x2)=1+x1−1+x2=1+xx2したがって、11+x−(1−x)=x21+x \frac{1}{1+x} - (1-x) = \frac{x^2}{1+x} 1+x1−(1−x)=1+xx2x>0x > 0x>0 より、x2>0x^2 > 0x2>0 かつ 1+x>01+x > 01+x>0 であるから、x21+x>0\frac{x^2}{1+x} > 01+xx2>0 が成り立つ。3. 最終的な答え11+x−(1−x)=x21+x>0\frac{1}{1+x} - (1-x) = \frac{x^2}{1+x} > 01+x1−(1−x)=1+xx2>0 より、11+x>1−x\frac{1}{1+x} > 1-x1+x1>1−x が成り立つ。