数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 3a_n + 4n$ ($n \ge 1$) で定義される。 (1) $a_n + 2n = b_n$ とおくとき、$b_n$ と $b_{n+1}$ の間の関係式を求める。 (2) $b_n$ を求める。 (3) $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 3a_n + 4n$ ($n \ge 1$) で定義される。

(1) $a_n + 2n = b_n$ とおくとき、$b_n$ と $b_{n+1}$ の間の関係式を求める。

(2) $b_n$ を求める。

(3) $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $b_n = a_n + 2n$ より、$a_n = b_n - 2n$ である。

よって、$a_{n+1} = b_{n+1} - 2(n+1) = b_{n+1} - 2n - 2$ となる。

$a_{n+1} = 3a_n + 4n$ に代入すると、

$b_{n+1} - 2n - 2 = 3(b_n - 2n) + 4n$

$b_{n+1} - 2n - 2 = 3b_n - 6n + 4n$

$b_{n+1} = 3b_n - 4n + 2n + 2$

$b_{n+1} = 3b_n - 2n + 2$

(2) $b_{n+1} = 3b_n - 2n + 2$ より、

$b_{n+1} - (pn + q) = 3(b_n - (p(n-1) + q))$ となるような $p, q$ を求める。

$b_{n+1} = 3b_n - 2n + 2$

$b_{n+1} - (pn + q) = 3b_n - 3p(n-1) - 3q$

$b_{n+1} = 3b_n - 3pn + 3p - 3q + pn + q$

$b_{n+1} = 3b_n - 2pn + 3p - 2q$

したがって、$-2p = -2$ かつ $3p - 2q = 2$ であればよい。

$p = 1$ より、$3 - 2q = 2$

$2q = 1$

$q = \frac{1}{2}$

$b_{n+1} - (n + \frac{1}{2}) = 3(b_n - (n - 1 + \frac{1}{2})) = 3(b_n - (n - \frac{1}{2}))$

$c_n = b_n - (n + \frac{1}{2})$ とおくと、$c_{n+1} = 3c_n$

$c_1 = b_1 - (1 + \frac{1}{2}) = a_1 + 2 - \frac{3}{2} = 1 + 2 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

よって、$c_n = \frac{3}{2} \cdot 3^{n-1} = \frac{1}{2} \cdot 3^n$

$b_n - (n + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 3^n$

$b_n = n + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 3^n = \frac{2n + 1 + 3^n}{2}$

(3) $a_n = b_n - 2n = \frac{2n + 1 + 3^n}{2} - 2n = \frac{2n + 1 + 3^n - 4n}{2} = \frac{3^n - 2n + 1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = 3b_n - 2n + 2$

(2) $b_n = \frac{3^n + 2n + 1}{2}$

(3) $a_n = \frac{3^n - 2n + 1}{2}$