この問題は、等比数列の一般項を求める問題と、数列の和を求める問題の2つのパートに分かれています。 パート1では、与えられた等比数列の一般項 $a_n$ を求めます。 パート2では、シグマ記号で表された数列の和を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、等比数列の一般項を求める問題と、数列の和を求める問題の2つのパートに分かれています。

パート1では、与えられた等比数列の一般項 $a_n$ を求めます。

パート2では、シグマ記号で表された数列の和を求めます。

2. 解き方の手順

**パート1: 等比数列の一般項**

等比数列の一般項は、$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項の番号です。

* **問1:**

数列は 1, -2, 4, -8, ... です。

初項 $a_1 = 1$ です。

公比 $r = -2$ です。

したがって、一般項は $a_n = 1 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^{n-1}$ となります。

* **問2:**

数列は 3, 6, 12, 24, ... です。

初項 $a_1 = 3$ です。

公比 $r = 2$ です。

したがって、一般項は $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ となります。

**パート2: 数列の和**

等比数列の和の公式は、$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ です。

* **問1:**

$\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$ は、初項 $a_1 = 1$、公比 $r = 3$ の等比数列の和です。

したがって、和は $S_n = \frac{1(1-3^n)}{1-3} = \frac{1-3^n}{-2} = \frac{3^n - 1}{2}$ となります。

* **問2:**

$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^{k-1}$ は、初項 $a_1 = 2$、公比 $r = 3$ の等比数列の和の2倍です。

したがって、和は $S_n = 2 \cdot \frac{1(1-3^n)}{1-3} = 2 \cdot \frac{1-3^n}{-2} = 2 \cdot \frac{3^n - 1}{2} = 3^n - 1$ となります。

3. 最終的な答え

パート1:

* 問1: $a_n = (-2)^{n-1}$

* 問2: $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

パート2:

* 問1: $\frac{3^n - 1}{2}$

* 問2: $3^n - 1$