与えられた数学の問題は、整式の除法、分数式の計算、比例式と対称式、恒等式、相加平均と相乗平均の関係、二項定理に関する複数の小問から構成されています。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、整式の除法、分数式の計算、比例式と対称式、恒等式、相加平均と相乗平均の関係、二項定理に関する複数の小問から構成されています。

2. 解き方の手順

各小問ごとに解き方を説明します。

(1) 整式の除法

$4x^3 - 2x^2 + x - 3$ を $x^2 + 3x + 1$ で割ります。

筆算を行うと、商は $4x - 14$ 、余りは $43x + 11$ となります。

(2) 分数式の計算

$\frac{1}{x^2 + 5x + 6} - \frac{1}{x^2 + 7x + 12} = \frac{1}{(x+2)(x+3)} - \frac{1}{(x+3)(x+4)} = \frac{(x+4) - (x+2)}{(x+2)(x+3)(x+4)} = \frac{2}{(x+2)(x+3)(x+4)}$

したがって、$\frac{2}{(x+2)(x+4)}$ となります。 ただし、$2 < 4$とする。

(3) 比例式・対称式

(1) $a:b = 2:3$ より $a = \frac{2}{3}b$

$\frac{b^2 - a^2}{ab} = \frac{b^2 - (\frac{2}{3}b)^2}{\frac{2}{3}b^2} = \frac{b^2 - \frac{4}{9}b^2}{\frac{2}{3}b^2} = \frac{\frac{5}{9}b^2}{\frac{2}{3}b^2} = \frac{5}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{6}$

$\frac{b^2}{a^2} - \frac{a^2}{b^2} = 19$ より $(\frac{b}{a})^2 - (\frac{a}{b})^2 = 19$

$(\frac{3}{2})^2 - (\frac{2}{3})^2 = \frac{9}{4} - \frac{4}{9} = \frac{81 - 16}{36} = \frac{65}{36}$. このとき、$a$を求める操作は省略。

(2) $x + \frac{1}{x} = 3$ より $x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = 3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$

$x - \frac{1}{x} = \pm\sqrt{(x + \frac{1}{x})^2 - 4} = \pm\sqrt{3^2 - 4} = \pm\sqrt{5}$

(4) 恒等式

(1) $x^3 - x + 1 = a(x-1)^3 + b(x-1)^2 + c(x-1) + d$ について、$x = 1$ を代入すると $1 - 1 + 1 = d$ より $d = 1$.

$x = 0$ を代入すると $1 = -a + b - c + 1$ より $a - b + c = 0$.

$x = 2$ を代入すると $8 - 2 + 1 = a + b + c + 1$ より $a + b + c = 6$.

$x = 3$ を代入すると $27 - 3 + 1 = 8a + 4b + 2c + 1$ より $8a + 4b + 2c = 24$. すなわち、$4a + 2b + c = 12$.

$a=1, b=2, c=3, d=1$

(2) $\frac{3x + 2}{x^2(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x+1}$ を変形して、 $3x + 2 = a x (x+1) + b(x+1) + c x^2$

$x = 0$ を代入すると $2 = b$.

$x = -1$ を代入すると $-3 + 2 = c$ より $c = -1$.

$x = 1$ を代入すると $5 = 2a + 2b + c = 2a + 4 - 1$ より $2a = 2$, $a = 1$.

(5) 相加平均と相乗平均の大小関係

$a > 0$ のとき、$4a + \frac{9}{a}$ の最小値は、相加平均と相乗平均の関係より $4a + \frac{9}{a} \geq 2\sqrt{4a \cdot \frac{9}{a}} = 2\sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12$.

最小値は $12$ であり、このとき $4a = \frac{9}{a}$, $4a^2 = 9$, $a^2 = \frac{9}{4}$, $a = \frac{3}{2}$.

$a>0, b>0$のとき、$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{9}{a})=ab+9+1+\frac{9}{ab}$

$=ab+\frac{9}{ab}+10 \geq 2\sqrt{9}+10 = 6+10 = 16$

最小値は$16$であり$ab=3$

(6) 二項定理

(1) $(x+3y)^5$ の展開式における $x^3 y^2$ の係数は ${5 \choose 2} x^3 (3y)^2 = 10 x^3 (9y^2) = 90 x^3 y^2$. したがって、係数は $90$ です。

(2) $(x^2-\frac{2}{x})^6$ の展開式における$x^3$の係数は${6 \choose 3}(x^2)^3(-\frac{2}{x})^3 = 20 x^6 (-\frac{8}{x^3})=-160x^3$ よって-160

定数項：$x^{12-3n}=1, 12=3n, n=4 \Rightarrow {6 \choose 4}(x^2)^2(-\frac{2}{x})^4 = 15 \times x^4 \times \frac{16}{x^4} = 240$

3. 最終的な答え

1. ア:4, イ:-14, エ:43, カ:11

2. ケ:2, コ:4

3. (1)サ:5/6, シ:3/2, スセ:なし (問題が不明確)

(2)ソタ:18, チ:±√5

4. (1)ツ:1, テ:2, ト:3, ナ:1

(2)ニ:1, ヌ:2, ネ:-1

5. ハヒ:12, フ:3/2

ホマ:16, ミ:3

6. ムメ:90

モヤユヨ:-160, ラリル:240