数列 $\{a_n\}$ が $a_{n+1} = 3a_n + 4n$ を満たし、$a_1 = 1$ であるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。特に、画像の3°の部分では、$a_n$ を $a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ の形で表し、それを計算することで一般項を求めています。ここで、$b_n = a_{n+1} - a_n$ です。最終的な答えは $a_n = 4\cdot 3^{n-1} - 2n - 1$ となることを示しています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_{n+1} = 3a_n + 4n$ を満たし、$a_1 = 1$ であるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。特に、画像の3°の部分では、$a_n$ を $a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ の形で表し、それを計算することで一般項を求めています。ここで、$b_n = a_{n+1} - a_n$ です。最終的な答えは $a_n = 4\cdot 3^{n-1} - 2n - 1$ となることを示しています。

2. 解き方の手順

1°: $b_n = a_{n+1} - a_n$ と定義します。

$a_{n+1} = 3a_n + 4n$ より、$a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4(n+1)$ です。

$a_{n+2} - a_{n+1} = 3(a_{n+1} - a_n) + 4$ より、$b_{n+1} = 3b_n + 4$ となります。

$a_1 = 1$ であり、$a_2 = 3a_1 + 4(1) = 3(1) + 4 = 7$ より、$b_1 = a_2 - a_1 = 7 - 1 = 6$ となります。

$b_{n+1} = 3b_n + 4$ を変形すると、$b_{n+1} + 2 = 3(b_n + 2)$ となります。また、$b_1 + 2 = 6 + 2 = 8$ となります。

2°: 数列 $\{b_n + 2\}$ は初項 8、公比 3 の等比数列なので、$b_n + 2 = 8 \cdot 3^{n-1}$ となります。

したがって、$b_n = 8 \cdot 3^{n-1} - 2$ となります。

3°: $n \geq 2$ のとき、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (8 \cdot 3^{k-1} - 2)$ となります。

$\sum_{k=1}^{n-1} (8 \cdot 3^{k-1} - 2) = 8 \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} - \sum_{k=1}^{n-1} 2$

$\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = \frac{3^{n-1} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{n-1} - 1}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2 = 2(n-1)$

したがって、$a_n = 1 + 8 \cdot \frac{3^{n-1} - 1}{2} - 2(n-1) = 1 + 4(3^{n-1} - 1) - 2n + 2 = 1 + 4 \cdot 3^{n-1} - 4 - 2n + 2 = 4 \cdot 3^{n-1} - 2n - 1$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 4 \cdot 3^{1-1} - 2(1) - 1 = 4 - 2 - 1 = 1$ となり、$a_1 = 1$ と一致します。

3. 最終的な答え

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2n - 1$