数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 6$, $a_{n+1} = 4a_n - 3$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、$a_n =$ ア $\cdot$ イ$^{n-1} +$ ウの形式で答える。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 6$, $a_{n+1} = 4a_n - 3$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、$a_n =$ ア $\cdot$ イ$^{n-1} +$ ウの形式で答える。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = 4a_n - 3$ を変形して等比数列の形にする。

$a_{n+1} - \alpha = 4(a_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を求める。

$a_{n+1} = 4a_n - 3$ と $a_{n+1} = 4a_n - 4\alpha + \alpha$ を比較すると、$-3 = -4\alpha + \alpha$ より、$-3 = -3\alpha$ なので、$\alpha = 1$。

したがって、$a_{n+1} - 1 = 4(a_n - 1)$ となる。

$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 4b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比4の等比数列である。

$b_1 = a_1 - 1 = 6 - 1 = 5$ なので、数列 $\{b_n\}$ の一般項は $b_n = 5 \cdot 4^{n-1}$ となる。

$a_n = b_n + 1$ なので、$a_n = 5 \cdot 4^{n-1} + 1$。

したがって、ア $= 5$, イ $= 4$, ウ $= 1$ である。

3. 最終的な答え

$a_n = 5 \cdot 4^{n-1} + 1$