数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、求める一般項の形式は $a_n =$ ク $2^n$ + ケ である。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、求める一般項の形式は $a_n =$ ク $2^n$ + ケ である。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式は、$a_{n+1} = a_n + 2^n$ である。この漸化式を解くために、まず $a_n$ の階差数列を考える。階差数列を $b_n = a_{n+1} - a_n$ とすると、$b_n = 2^n$ である。したがって、$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$$

$a_1 = 3$ より、

$$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$$

等比数列の和の公式を用いると、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2^n - 2$$

したがって、

$$a_n = 3 + 2^n - 2 = 2^n + 1$$

これは、$n=1$ のとき、$a_1 = 2^1 + 1 = 3$ となり、条件を満たす。

したがって、$a_n = 2^n + 1$ である。

求める一般項の形式は $a_n =$ ク $2^n$ + ケ であるので、ク は1、ケ は1である。

3. 最終的な答え

ク: 1

ケ: 1