数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および $a_{n+1} = a_n + 6n$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ で定められているとき、一般項 $a_n = \text{オ}n^2 - \text{カ}n + \text{キ}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および $a_{n+1} = a_n + 6n$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ で定められているとき、一般項 $a_n = \text{オ}n^2 - \text{カ}n + \text{キ}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 6n$ を $n=1$ から $n=n-1$ まで足し合わせます。

$a_2 = a_1 + 6(1)$

$a_3 = a_2 + 6(2)$

$a_4 = a_3 + 6(3)$

$\vdots$

$a_n = a_{n-1} + 6(n-1)$

これらの式を足し合わせると、

$a_2 + a_3 + \dots + a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + 6(1 + 2 + \dots + (n-1))$

左辺と右辺に共通の項があるので、消去すると、

$a_n = a_1 + 6(1 + 2 + \dots + (n-1))$

$a_1 = 1$ なので、

$a_n = 1 + 6 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ を使うと、

$a_n = 1 + 6 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 1 + 3n(n-1)$

$a_n = 1 + 3n^2 - 3n$

$a_n = 3n^2 - 3n + 1$

したがって、$\text{オ}=3$, $\text{カ}=3$, $\text{キ}=1$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 3n^2 - 3n + 1$

オ = 3

カ = 3

キ = 1