数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 5$, $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + 1$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。特に、$a_n = \frac{エ}{オ^{n-1}} + カ$ の形で表すことを求められています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 5$, $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + 1$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。特に、$a_n = \frac{エ}{オ^{n-1}} + カ$ の形で表すことを求められています。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + 1$ を変形します。

$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + 1$ の特性方程式 $x = \frac{1}{2}x + 1$ を解くと、

$\frac{1}{2}x = 1$ より $x = 2$ となります。

したがって、漸化式は

$a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2}(a_n - 2)$

と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{1}{2} b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であることがわかります。

初項は $b_1 = a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$ なので、

$b_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

となります。

$a_n = b_n + 2$ であるから、

$a_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} + 2$

となります。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3}{2^{n-1}} + 2$

したがって、エ = 3, オ = 2, カ = 2 となります。