数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$ および漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、$a_2$, $a_3$, $a_4$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$ および漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、$a_2$, $a_3$, $a_4$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_2$ を求めるために、$n=1$ を漸化式に代入します。

$a_{1+1} = a_2 = 2a_1 - 1$

$a_1 = 3$ なので、$a_2 = 2 \times 3 - 1 = 6 - 1 = 5$ となります。

次に、$a_3$ を求めるために、$n=2$ を漸化式に代入します。

$a_{2+1} = a_3 = 2a_2 - 2$

$a_2 = 5$ なので、$a_3 = 2 \times 5 - 2 = 10 - 2 = 8$ となります。

最後に、$a_4$ を求めるために、$n=3$ を漸化式に代入します。

$a_{3+1} = a_4 = 2a_3 - 3$

$a_3 = 8$ なので、$a_4 = 2 \times 8 - 3 = 16 - 3 = 13$ となります。

3. 最終的な答え

$a_2 = 5$

$a_3 = 8$

$a_4 = 13$