$a > 0$ のとき、不等式 $a+1+\frac{6}{a+1} \ge 2\sqrt{6}$ を証明し、等号が成り立つときを求める。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、不等式 $a+1+\frac{6}{a+1} \ge 2\sqrt{6}$ を証明し、等号が成り立つときを求める。

2. 解き方の手順

$a > 0$ より $a+1 > 0$ かつ $\frac{6}{a+1} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係より、

$$a+1+\frac{6}{a+1} \ge 2\sqrt{(a+1) \cdot \frac{6}{a+1}} = 2\sqrt{6}$$

よって、

$$a+1+\frac{6}{a+1} \ge 2\sqrt{6}$$

等号が成り立つのは $a+1 = \frac{6}{a+1}$ のときである。

つまり、$(a+1)^2 = 6$ のときである。

$a+1 > 0$ より、 $a+1 = \sqrt{6}$

すなわち、 $a = \sqrt{6}-1$ のときである。

ク：2

ケ：6

コ：2

サ：6

シ：6

ス：6

セ：6

ソ：1

3. 最終的な答え

$a+1+\frac{6}{a+1} \ge 2\sqrt{6}$

等号成立は $a = \sqrt{6}-1$ のとき。