与えられた4つの2次不等式の中から、解がすべての実数となるものを選びます。

1. 問題の内容

与えられた4つの2次不等式の中から、解がすべての実数となるものを選びます。

2. 解き方の手順

それぞれの2次不等式について、判別式 $D$ を計算し、不等号の向きとあわせて、解がすべての実数となるかどうかを調べます。

* **選択肢1:** $-x^2 - x + 2 \le 0$

両辺に-1をかけて $x^2 + x - 2 \ge 0$ とします。

$(x+2)(x-1) \ge 0$ より、$x \le -2$ または $x \ge 1$ となるため、すべての実数ではありません。画像ではすでに間違いとされています。

* **選択肢2:** $x^2 + 10x + 25 \le 0$

$(x+5)^2 \le 0$ より、$x = -5$ となるため、すべての実数ではありません。

* **選択肢3:** $x^2 - 3x + 4 > 0$

判別式 $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 < 0$ です。

$x^2$ の係数が正であることから、この2次関数は下に凸のグラフとなり、判別式が負であることから、$x$ 軸と交点を持ちません。したがって、$x^2 - 3x + 4$ は常に正の値をとります。よって、$x^2 - 3x + 4 > 0$ はすべての実数 $x$ で成り立ちます。

* **選択肢4:** $x^2 + 3x + 5 < 0$

判別式 $D = 3^2 - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11 < 0$ です。

$x^2$ の係数が正であることから、この2次関数は下に凸のグラフとなり、判別式が負であることから、$x$ 軸と交点を持ちません。したがって、$x^2 + 3x + 5$ は常に正の値をとります。よって、$x^2 + 3x + 5 < 0$ となる $x$ は存在しません。

3. 最終的な答え

$x^2 - 3x + 4 > 0$