問題129の(1)から(3)について、与えられた2次関数のグラフを描き、頂点と軸を求める問題です。 (1) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$ (2) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$ (3) $y = 2x^2 - 3x - 2$

1. 問題の内容

問題129の(1)から(3)について、与えられた2次関数のグラフを描き、頂点と軸を求める問題です。

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$

(2) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

(3) $y = 2x^2 - 3x - 2$

2. 解き方の手順

各2次関数を平方完成させ、頂点の座標を求めます。その後、軸の方程式を求めます。

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$

$\frac{1}{2}$でくくります。

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x)$

括弧の中を平方完成します。

$y = \frac{1}{2}((x + 2)^2 - 4)$

分配法則を用いて展開します。

$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 2$

よって、頂点は$(-2, -2)$であり、軸は$x = -2$です。

(2) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

$\frac{1}{3}$でくくります。

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 4x + 10)$

括弧の中を平方完成します。

$y = \frac{1}{3}((x - 2)^2 - 4 + 10)$

$y = \frac{1}{3}((x - 2)^2 + 6)$

分配法則を用いて展開します。

$y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + 2$

よって、頂点は$(2, 2)$であり、軸は$x = 2$です。

(3) $y = 2x^2 - 3x - 2$

2でくくります。

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 2$

括弧の中を平方完成します。

$y = 2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) - 2$

分配法則を用いて展開します。

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} - 2$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{25}{8}$

よって、頂点は$(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$であり、軸は$x = \frac{3}{4}$です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(-2, -2)$, 軸: $x = -2$

(2) 頂点: $(2, 2)$, 軸: $x = 2$

(3) 頂点: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$, 軸: $x = \frac{3}{4}$