$a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $2\sqrt{a+b} \geq \sqrt{2a} + \sqrt{2b}$ を証明する問題です。解答用紙の空欄を埋める形式になっています。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $2\sqrt{a+b} \geq \sqrt{2a} + \sqrt{2b}$ を証明する問題です。解答用紙の空欄を埋める形式になっています。

2. 解き方の手順

まず、両辺の平方の差を計算します。

$(2\sqrt{a+b})^2 - (\sqrt{2a} + \sqrt{2b})^2$

$= 4(a+b) - (2a + 2\sqrt{2a}\sqrt{2b} + 2b)$

$= 4(a+b) - (2a + 4\sqrt{ab} + 2b)$

$= 4a + 4b - 2a - 4\sqrt{ab} - 2b$

$= 2a + 2b - 4\sqrt{ab}$

$= 2(a + b - 2\sqrt{ab})$

$= 2(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$ なので、 $2(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$ となります。

よって、$(2\sqrt{a+b})^2 \geq (\sqrt{2a} + \sqrt{2b})^2$

$2\sqrt{a+b} > 0$, $\sqrt{2a} + \sqrt{2b} > 0$ であるから、 $2\sqrt{a+b} \geq \sqrt{2a} + \sqrt{2b}$ が成立します。

空欄を埋めると、以下のようになります。

ア: 4

イ: 4

ウ: 2

エ: 2

オ: 4

カ: 2

キ: 0

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 4

ウ: 2

エ: 2

オ: 4

カ: 2

キ: 0