$x, y$ が実数のとき、不等式 $x^2 + 2xy + 5y^2 - 4x + 8y + 13 \geq 0$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

$x, y$ が実数のとき、不等式 $x^2 + 2xy + 5y^2 - 4x + 8y + 13 \geq 0$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を平方完成していきます。

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + 2xy + 5y^2 - 4x + 8y + 13 = x^2 + (2y - 4)x + 5y^2 + 8y + 13$

次に、$x$ に関する平方完成を行います。

$x^2 + (2y - 4)x + 5y^2 + 8y + 13 = \{x + (y - 2)\}^2 - (y - 2)^2 + 5y^2 + 8y + 13$

$= (x + y - 2)^2 - (y^2 - 4y + 4) + 5y^2 + 8y + 13$

$= (x + y - 2)^2 + 4y^2 + 12y + 9$

さらに、$y$ について平方完成を行います。

$(x + y - 2)^2 + 4y^2 + 12y + 9 = (x + y - 2)^2 + (2y + 3)^2$

したがって、$x^2 + 2xy + 5y^2 - 4x + 8y + 13 = (x + y - 2)^2 + (2y + 3)^2 \geq 0$ となります。

等号が成り立つのは、$(x + y - 2) = 0$ かつ $(2y + 3) = 0$ のときです。

$2y + 3 = 0$ より $y = -\frac{3}{2}$

$x + y - 2 = 0$ に $y = -\frac{3}{2}$ を代入すると、$x - \frac{3}{2} - 2 = 0$ より $x = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$x^2 + 2xy + 5y^2 - 4x + 8y + 13 \geq 0$

等号が成り立つのは $x = \frac{7}{2}, y = -\frac{3}{2}$ のときです。

よって、

ケ = 4

コ = 2

サ = 2

シ = 2

ス = 3

セ = 7

ソ = 2

タチ = -3

ツ = 2