複素数の等式 $(1+3i)(x+yi) = 17+i$ を満たす実数 $x$ と $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

複素数の等式 $(1+3i)(x+yi) = 17+i$ を満たす実数 $x$ と $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、左辺を展開します。

$$(1+3i)(x+yi) = x + yi + 3xi + 3yi^2$$

$i^2 = -1$ なので、

$$(1+3i)(x+yi) = x + yi + 3xi - 3y$$

実部と虚部に整理すると、

$$(1+3i)(x+yi) = (x - 3y) + (3x + y)i$$

与えられた等式より、

$$(x - 3y) + (3x + y)i = 17 + i$$

複素数の相等条件から、実部と虚部がそれぞれ等しいので、以下の連立方程式が得られます。

$$x - 3y = 17$$

$$3x + y = 1$$

この連立方程式を解きます。

2番目の式を3倍すると、

$$9x + 3y = 3$$

1番目の式と足し合わせると、

$$x - 3y + 9x + 3y = 17 + 3$$

$$10x = 20$$

$$x = 2$$

$x = 2$ を $3x + y = 1$ に代入すると、

$$3(2) + y = 1$$

$$6 + y = 1$$

$$y = 1 - 6$$

$$y = -5$$

したがって、$x = 2$、$y = -5$ です。

3. 最終的な答え

$x = 2$, $y = -5$