$\mathbb{R}^3$ のベクトル $a, b, c$ があり、$c = 2a - 3b$ が成り立つとき、以下の問いに答える。 * $a, b$ の組は線形独立か否か。 * $a$ が張る空間 $L(a)$ は何か。 * $a, b$ が張る空間 $L(a, b)$ は何か。 * $a, b, c$ が張る空間 $L(a, b, c)$ は何か。

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^3$ のベクトル $a, b, c$ があり、$c = 2a - 3b$ が成り立つとき、以下の問いに答える。

* $a, b$ の組は線形独立か否か。

* $a$ が張る空間 $L(a)$ は何か。

* $a, b$ が張る空間 $L(a, b)$ は何か。

* $a, b, c$ が張る空間 $L(a, b, c)$ は何か。

2. 解き方の手順

* $a, b$ の組の線形独立性：

$c = 2a - 3b$ より、$2a - 3b - c = 0$ となり、$a, b, c$ は線形従属である。$a$ と $b$ が線形従属であると仮定すると、$a = kb$ となる実数 $k$ が存在する。このとき、$c = 2(kb) - 3b = (2k - 3)b$ となり、$a, b, c$ はすべて $b$ のスカラー倍で表せることになり、張られる空間は高々1次元の直線となる。しかし、問題文に「$a, b$ は $\mathbb{R}^3$ の中に平行四辺形を作る」とあるため、$a, b$ は少なくとも平面を張る必要があり、$a, b$ が線形従属という仮定は誤りである。したがって、$a, b$ は線形独立である。

* $a$ が張る空間 $L(a)$：

$a$ が張る空間は、$a$ のスカラー倍の集合 $\{ka \mid k \in \mathbb{R}\}$ であり、これは原点を通る直線である。

* $a, b$ が張る空間 $L(a, b)$：

$a, b$ が張る空間は、$a, b$ の線形結合の集合 $\{ka + lb \mid k, l \in \mathbb{R}\}$ である。$a, b$ は線形独立なので、この空間は原点を通る平面である。

* $a, b, c$ が張る空間 $L(a, b, c)$：

$c = 2a - 3b$ なので、$L(a, b, c)$ は $a, b$ が張る空間と同じである。なぜなら、$ka + lb + mc = ka + lb + m(2a - 3b) = (k + 2m)a + (l - 3m)b$ となり、$a, b$ の線形結合で表されるからである。したがって、$L(a, b, c)$ は原点を通る平面である。

3. 最終的な答え

* $a, b$ の組は線形独立で、ある。

* $a$ が張る空間 $L(a)$ は、原点を通る直線である。

* $a, b$ が張る空間 $L(a, b)$ は、原点を通る平面である。

* $a, b, c$ が張る空間 $L(a, b, c)$ は、原点を通る平面である。