与えられた4次方程式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24$ を解け。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、式を展開する際に工夫を凝らします。$(x+1)(x+4)$ と $(x+2)(x+3)$ をそれぞれ計算すると、どちらも $x^2+5x$ の項が現れることに注目します。

$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

ここで、$y = x^2 + 5x$ と置くと、与えられた方程式は以下のように書き換えられます。

$(y+4)(y+6) = 24$

これを展開すると、

$y^2 + 10y + 24 = 24$

$y^2 + 10y = 0$

$y(y+10) = 0$

よって、$y = 0$ または $y = -10$ となります。

次に、$y = x^2 + 5x$ を代入して、$x$ についての方程式を解きます。

(i) $y = 0$ のとき、

$x^2 + 5x = 0$

$x(x+5) = 0$

よって、$x = 0$ または $x = -5$

(ii) $y = -10$ のとき、

$x^2 + 5x = -10$

$x^2 + 5x + 10 = 0$

この2次方程式の解は、解の公式を用いて求められます。

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 40}}{2}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{-15}}{2}$

$x = \frac{-5 \pm i\sqrt{15}}{2}$

3. 最終的な答え

したがって、方程式の解は $x = 0, -5, \frac{-5 + i\sqrt{15}}{2}, \frac{-5 - i\sqrt{15}}{2}$ です。