集合 $A = \{x | -3 < x < 2\}$ と集合 $B = \{x | -1 < x < 5\}$ が与えられたとき、次の集合を求めよ。 (1) $A \cup B$ (2) $A \cap B$ (3) $\overline{A}$ (4) $\overline{A \cap B}$ (5) $A \cap \overline{B}$ (6) $\overline{A \cup B}$ ただし、全体集合を実数全体とする。

1. 問題の内容

集合 $A = \{x | -3 < x < 2\}$ と集合 $B = \{x | -1 < x < 5\}$ が与えられたとき、次の集合を求めよ。

(1) $A \cup B$

(2) $A \cap B$

(3) $\overline{A}$

(4) $\overline{A \cap B}$

(5) $A \cap \overline{B}$

(6) $\overline{A \cup B}$

ただし、全体集合を実数全体とする。

2. 解き方の手順

まず、集合 $A$ と $B$ を数直線上に表すと分かりやすい。

(1) $A \cup B$ (AとBの和集合)は、$A$ または $B$ に属する要素の集合である。

$A = \{x | -3 < x < 2\}$

$B = \{x | -1 < x < 5\}$

なので、$A \cup B = \{x | -3 < x < 5\}$

(2) $A \cap B$ (AとBの共通部分)は、$A$ と $B$ の両方に属する要素の集合である。

$A = \{x | -3 < x < 2\}$

$B = \{x | -1 < x < 5\}$

なので、$A \cap B = \{x | -1 < x < 2\}$

(3) $\overline{A}$ (Aの補集合)は、全体集合(実数全体)から $A$ の要素を取り除いた集合である。

$A = \{x | -3 < x < 2\}$

なので、$\overline{A} = \{x | x \leq -3 \text{ or } x \geq 2\}$

(4) $\overline{A \cap B}$ (AかつBの補集合)は、$A \cap B$ の補集合である。

$A \cap B = \{x | -1 < x < 2\}$

なので、$\overline{A \cap B} = \{x | x \leq -1 \text{ or } x \geq 2\}$

(5) $A \cap \overline{B}$ (AかつBの補集合)は、Aに属し、かつBの補集合に属する要素の集合である。

$\overline{B} = \{x | x \leq -1 \text{ or } x \geq 5\}$

$A = \{x | -3 < x < 2\}$

なので、$A \cap \overline{B} = \{x | -3 < x \leq -1\}$

(6) $\overline{A \cup B}$ (AまたはBの補集合)は、$A \cup B$ の補集合である。

$A \cup B = \{x | -3 < x < 5\}$

なので、$\overline{A \cup B} = \{x | x \leq -3 \text{ or } x \geq 5\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cup B = \{x | -3 < x < 5\}$

(2) $A \cap B = \{x | -1 < x < 2\}$

(3) $\overline{A} = \{x | x \leq -3 \text{ or } x \geq 2\}$

(4) $\overline{A \cap B} = \{x | x \leq -1 \text{ or } x \geq 2\}$

(5) $A \cap \overline{B} = \{x | -3 < x \leq -1\}$

(6) $\overline{A \cup B} = \{x | x \leq -3 \text{ or } x \geq 5\}$