与えられた二次関数のグラフの頂点の座標を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について頂点を求めます。 (1) $y = x^2 - 8x - 3$ (2) $y = x^2 - 4x + 6$ (3) $y = x^2 + 2x - 3$ (4) $y = x^2 + 6x$

1. 問題の内容

与えられた二次関数のグラフの頂点の座標を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について頂点を求めます。

(1) $y = x^2 - 8x - 3$

(2) $y = x^2 - 4x + 6$

(3) $y = x^2 + 2x - 3$

(4) $y = x^2 + 6x$

2. 解き方の手順

二次関数の頂点を求めるには、平方完成を行う必要があります。

一般形 $y = ax^2 + bx + c$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形します。このとき、頂点の座標は $(p, q)$ になります。

(1) $y = x^2 - 8x - 3$

$y = (x^2 - 8x) - 3$

$y = (x^2 - 8x + 16 - 16) - 3$

$y = (x - 4)^2 - 16 - 3$

$y = (x - 4)^2 - 19$

よって、頂点の座標は $(4, -19)$

(2) $y = x^2 - 4x + 6$

$y = (x^2 - 4x) + 6$

$y = (x^2 - 4x + 4 - 4) + 6$

$y = (x - 2)^2 - 4 + 6$

$y = (x - 2)^2 + 2$

よって、頂点の座標は $(2, 2)$

(3) $y = x^2 + 2x - 3$

$y = (x^2 + 2x) - 3$

$y = (x^2 + 2x + 1 - 1) - 3$

$y = (x + 1)^2 - 1 - 3$

$y = (x + 1)^2 - 4$

よって、頂点の座標は $(-1, -4)$

(4) $y = x^2 + 6x$

$y = (x^2 + 6x)$

$y = (x^2 + 6x + 9 - 9)$

$y = (x + 3)^2 - 9$

よって、頂点の座標は $(-3, -9)$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(4, -19)$

(2) 頂点の座標: $(2, 2)$

(3) 頂点の座標: $(-1, -4)$

(4) 頂点の座標: $(-3, -9)$