不等式 $(x - y + 1)(x^2 + y^2 - 4) < 0$ の表す領域を図示する問題です。

1. 問題の内容

不等式 $(x - y + 1)(x^2 + y^2 - 4) < 0$ の表す領域を図示する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式は、2つの因数の積が負になるという条件を表しています。したがって、2つの因数の符号が異なるときに不等式が成立します。

まず、それぞれの因数について考えます。

* $x - y + 1$： これは直線 $x - y + 1 = 0$ つまり $y = x + 1$ を表します。この直線より上側の領域では $x - y + 1 < 0$、下側の領域では $x - y + 1 > 0$ となります。

* $x^2 + y^2 - 4$： これは円 $x^2 + y^2 = 4$ を表します。この円は原点を中心とする半径 2 の円です。この円の内側では $x^2 + y^2 - 4 < 0$、外側では $x^2 + y^2 - 4 > 0$ となります。

次に、不等式 $(x - y + 1)(x^2 + y^2 - 4) < 0$ が成立する2つの場合を考えます。

* 場合1: $x - y + 1 > 0$ かつ $x^2 + y^2 - 4 < 0$

これは、$y < x + 1$ かつ $x^2 + y^2 < 4$ を満たす領域、つまり、直線 $y = x + 1$ より下側で、かつ円 $x^2 + y^2 = 4$ の内側の領域です。

* 場合2: $x - y + 1 < 0$ かつ $x^2 + y^2 - 4 > 0$

これは、$y > x + 1$ かつ $x^2 + y^2 > 4$ を満たす領域、つまり、直線 $y = x + 1$ より上側で、かつ円 $x^2 + y^2 = 4$ の外側の領域です。

最後に、これらの領域をグラフに図示します。直線 $y=x+1$と円 $x^2+y^2=4$ を描き、場合1と場合2で求めた領域に斜線を引きます。境界線は含みません。つまり直線と円は点線で描きます。

3. 最終的な答え

求める領域は、

- 直線 $y = x + 1$ より下側で、かつ円 $x^2 + y^2 = 4$ の内側の領域

- 直線 $y = x + 1$ より上側で、かつ円 $x^2 + y^2 = 4$ の外側の領域

です。 (境界線は含まない)