与えられた対数の式を計算して簡単にせよ。 式は $2\log_{10} \frac{\sqrt{3}}{10} - \log_{10} 30$ です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた対数の式を計算して簡単にせよ。

式は $2\log_{10} \frac{\sqrt{3}}{10} - \log_{10} 30$ です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を簡単にしていきます。

ステップ1: 対数の性質 $n\log_a x = \log_a x^n$ を用いて、最初の項の係数2を対数の中に入れます。

$2\log_{10} \frac{\sqrt{3}}{10} = \log_{10} (\frac{\sqrt{3}}{10})^2 = \log_{10} \frac{3}{100}$

ステップ2: 元の式に代入します。

$\log_{10} \frac{3}{100} - \log_{10} 30$

ステップ3: 対数の性質 $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ を用いて、対数の差を対数の商に変換します。

$\log_{10} \frac{3}{100} - \log_{10} 30 = \log_{10} \frac{\frac{3}{100}}{30} = \log_{10} \frac{3}{100 \times 30} = \log_{10} \frac{3}{3000}$

ステップ4: 分数を約分して簡略化します。

$\log_{10} \frac{3}{3000} = \log_{10} \frac{1}{1000}$

ステップ5: $\frac{1}{1000}$を$10$の累乗で表します。

$\log_{10} \frac{1}{1000} = \log_{10} 10^{-3}$

ステップ6: 対数の性質 $\log_a a^x = x$ を用いて計算します。

$\log_{10} 10^{-3} = -3$

3. 最終的な答え

$-3$