ベクトル $\vec{a} = (1, 1)$ と $\vec{b} = (2, 4)$ が与えられたとき、以下の問いに答える。 (1) $|x\vec{a} + \vec{b}|^2$ を $x$ で表せ。 (2) $|x\vec{a} + \vec{b}|$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, 1)$ と $\vec{b} = (2, 4)$ が与えられたとき、以下の問いに答える。

(1) $|x\vec{a} + \vec{b}|^2$ を $x$ で表せ。

(2) $|x\vec{a} + \vec{b}|$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x\vec{a} + \vec{b}$ を計算する。

$x\vec{a} + \vec{b} = x(1, 1) + (2, 4) = (x + 2, x + 4)$

次に、$|x\vec{a} + \vec{b}|^2$ を計算する。

$|x\vec{a} + \vec{b}|^2 = (x + 2)^2 + (x + 4)^2 = x^2 + 4x + 4 + x^2 + 8x + 16 = 2x^2 + 12x + 20$

(2)

$|x\vec{a} + \vec{b}|^2 = 2x^2 + 12x + 20$ を最小にする $x$ を求める。これは二次関数の最小値を求める問題である。

$f(x) = 2x^2 + 12x + 20$ とおくと、

$f(x) = 2(x^2 + 6x) + 20 = 2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 20 = 2((x + 3)^2 - 9) + 20 = 2(x + 3)^2 - 18 + 20 = 2(x + 3)^2 + 2$

$f(x)$ は $x = -3$ のとき最小値 $2$ をとる。

したがって、$|x\vec{a} + \vec{b}|^2$ の最小値は $2$ であり、その時の $x$ の値は $-3$ である。

$|x\vec{a} + \vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $|x\vec{a} + \vec{b}|^2 = 2x^2 + 12x + 20$

(2) 最小値: $\sqrt{2}$, そのときの $x$ の値: $-3$