問題3は、行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -3 \\ 0 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答えるものです。 (1) (a) $A$ が正規行列であることを確かめる。 (b) $A$ の固有値と固有ベクトルを全て求める。 (c) ユニタリ行列 $U$ を求め、$U^*AU$ が対角行列となるようにする。 (2) $A^n$ ($n \in \mathbb{N}$) を求める。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題について解説します。

1. 問題の内容

問題3は、行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -3 \\ 0 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答えるものです。

(1)

(a) $A$ が正規行列であることを確かめる。

(b) $A$ の固有値と固有ベクトルを全て求める。

(c) ユニタリ行列 $U$ を求め、$U^*AU$ が対角行列となるようにする。

(2) $A^n$ ($n \in \mathbb{N}$) を求める。

2. 解き方の手順

(1) (a) $A$ が正規行列であることを確かめる。

正規行列であるためには、$AA^* = A^*A$ を満たす必要があります。ここで、$A^*$ は $A$ の随伴行列（複素共役転置）です。$A$は実行列なので$A^* = A^T$（$A$の転置行列）となります。

$A^T = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -3 \\ 0 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

$AA^T = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -3 \\ 0 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 & -3 \\ 0 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 & 0 & -24 \\ 0 & 4 & 0 \\ -24 & 0 & 25 \end{pmatrix}$

$A^TA = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -3 \\ 0 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 & -3 \\ 0 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 & 0 & -24 \\ 0 & 4 & 0 \\ -24 & 0 & 25 \end{pmatrix}$

したがって、$AA^T = A^TA$ が成立するので、$A$ は正規行列です。

(1) (b) $A$ の固有値と固有ベクトルを全て求める。

固有値を求めるには、特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。ここで、$I$ は単位行列です。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4-\lambda & 0 & -3 \\ 0 & -2-\lambda & 0 \\ -3 & 0 & 4-\lambda \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = (4-\lambda)((-2-\lambda)(4-\lambda) - 0) - 0 + (-3)(0 - (-3)(-2-\lambda)) = (4-\lambda)((4-\lambda)(-2-\lambda)) - 9(-2-\lambda)$

$= (4-\lambda)^2 (-2-\lambda) - 9(-2-\lambda) = (-2-\lambda)((4-\lambda)^2 - 9) = (-2-\lambda)(16 - 8\lambda + \lambda^2 - 9) = (-2-\lambda)(\lambda^2 - 8\lambda + 7) = (-2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-7)$

したがって、固有値は $\lambda_1 = -2, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 7$ です。

各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = -2$ のとき:

$(A - (-2)I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} 6 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$6x - 3z = 0$ より $z = 2x$。$y$ は任意。

したがって、$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ または $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ が固有ベクトルとなります。

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$に垂直な固有ベクトルは$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$。

$\lambda_2 = 1$ のとき:

$(A - I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} 3 & 0 & -3 \\ 0 & -3 & 0 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x - 3z = 0$ より $x = z$。$-3y = 0$ より $y = 0$。

したがって、$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ が固有ベクトルとなります。

$\lambda_3 = 7$ のとき:

$(A - 7I)v_3 = 0$

$\begin{pmatrix} -3 & 0 & -3 \\ 0 & -9 & 0 \\ -3 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-3x - 3z = 0$ より $x = -z$。$-9y = 0$ より $y = 0$。

したがって、$v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ が固有ベクトルとなります。

(1) (c) ユニタリ行列 $U$ を求め、$U^*AU$ が対角行列となるようにする。

固有ベクトルを正規化します。

$u_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, u_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, u_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, u_4 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

ユニタリ行列$U$は正規直交化した固有ベクトルを並べて作ります。

$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$U^*AU = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$

(2) $A^n$ ($n \in \mathbb{N}$) を求める。

$A = U \Lambda U^*$, ここで $\Lambda$ は対角行列なので、$A^n = U \Lambda^n U^*$.

$\Lambda = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$

$\Lambda^n = \begin{pmatrix} (-2)^n & 0 & 0 \\ 0 & 1^n & 0 \\ 0 & 0 & 7^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)^n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 7^n \end{pmatrix}$

$A^n = U \Lambda^n U^*$

3. 最終的な答え

(1) (a) $A$ は正規行列である。（証明済み）

(1) (b) 固有値: $\lambda_1 = -2, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 7$

　　　固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

(1) (c) $U = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$, $U^*AU = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$

(2) $A^n = U \Lambda^n U^*$　ここで $\Lambda^n = \begin{pmatrix} (-2)^n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 7^n \end{pmatrix}$